Theorie de galois

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alphax
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theorie de galois

par alphax » 18 Jan 2020, 02:09

j ai lu dans un livre sur la theorie de galois que l'equation x^5-10*x+5=0 n'avait pas de solution qu'on puisse ecrire avec des radicaux.or une des solutions de cette equation est une des solutions de l'equation x^4-531939*x^3/276044+3170255*x^2/828132-1476733*x/207033+1159979/414066=0 qui peut s ecrire par radicaux.
alors la theorie de galois est t elle fausse? ou est l'erreur?



GaBuZoMeu
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Re: theorie de galois

par GaBuZoMeu » 18 Jan 2020, 08:59

Bonjour,

Évariste Galois mérite le respect de son patronyme, avec le G majuscule !

Où est l'erreur ? Chez toi, bien entendu. Les deux polynômes sont premiers entre eux, ils n'ont aucune racine commune.
Faisons calculer leur pgcd par un esclave :
Code: Tout sélectionner
x=var('x')
P=x^5-10*x+5
Q=x^4-531939*x^3/276044+3170255*x^2/828132\
-1476733*x/207033+1159979/414066
P.gcd(Q)

La réponse :
Code: Tout sélectionner
1


Bon, maintenant, d'où sors-tu ce polynôme ? Si tu veux vraiment comprendre ton erreur, il faut le dire.
Connaîtrais-tu un certain Pablo_de_retour, par hasard ?

alphax
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Re: theorie de galois

par alphax » 19 Jan 2020, 01:16

je ne connais pas de pablo!

alphax
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Re: theorie de galois

par alphax » 19 Jan 2020, 01:28

d,ou je sort le polynome, d'un calcul long que je ne peux pas mettre ici.

GaBuZoMeu
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Re: theorie de galois

par GaBuZoMeu » 19 Jan 2020, 12:11

Puisque tu ne veux pas en dire plus sur ton "secret de fabrication", on peut faire un peu de retro-ingénierie. Appelons P le polynôme de degré 5 et Q le polynôme de degré 4 dont tu affirmes qu'il a une racine en commun avec Q (ce qui est faux, bien sûr).
On peut trouver des valeurs approchées des racines de P (trois réelles, deux complexes) :
-1.88596079598409
0.503227158966587
1.62172535785064
-0.119495860416570 - 1.79842116245329*I
-0.119495860416570 + 1.79842116245329*I
et on peut de même trouver des valeurs approchées des racines de Q (deux réelles, deux complexes)
0.503227158966587
1.62172530039064
-0.0989722230709699 - 1.85011645981297*I
-0.0989722230709699 + 1.85011645981297*I

On constate que la première racine de Q est si proche de la deuxième racine de P que les 15 décimales données n'arrivent pas à le distinguer. La deuxième racine de Q est aussi très proche de la troisième racine de P, mais là on voit tout de même la différence.
Voyons de plus près cette première racine de Q. Elle a comme il se doit pour un polynôme de degré 4 une expression avec des radicaux, qu'on peut faire calculer par un logiciel de calcul formel (j'utilise pour ma part SageMath). Elle est si horrible que je ne l'affiche pas ici, disons seulement qu'on y voit apparaître la racine carrée de
10755179336367729809003150272017476399
On peut rentrer cette expression exacte de la racine de Q dans P, et ... on ne trouve pas 0, mais environ 2.30926389122033e-14 : tout tout petit certes, mais pas nul. Ce n'est pas une racine de P.

On peut donc imaginer les grandes lignes de ta recette de fabrication de Q : fabriquer un polynôme de degré 4 à coefficients rationnels qui s'annule très très près de deux des racines de P. Bravo pour l'effort ! Mais aucune des racines de Q n'est racine de P !

Je peux te proposer un polynôme de degré 2 dont les deux racines réelles sont pratiquement indistinguables de deux des racines de P :
43145066915765420*x^2 - 91681216051787737*x + 35210525829168255

alphax
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Re: theorie de galois

par alphax » 20 Jan 2020, 06:18

ok j ai vu l'erreur mais j'ai obtenu ce polynome en calculant (je sais plus comment) a partir du polynome de degre 5

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Re: theorie de galois

par GaBuZoMeu » 20 Jan 2020, 11:07

alphax a écrit:j'ai obtenu ce polynome en calculant (je sais plus comment) a partir du polynome de degre 5

Eh bien, nous voila bien avancés ! :mrgreen:

alphax
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Re: theorie de galois

par alphax » 21 Jan 2020, 04:18

je peux peut etre retrouver la fabrication du polynome avec mes notes
est ce que ca t'interreses?

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Re: theorie de galois

par GaBuZoMeu » 21 Jan 2020, 09:34

Ce qui m'intéresserait, c'est que tu puisses en donner l'idée. Mais, s'il te plaît, pas une suite interminable de calculs.
Par exemple, pour la fabrication du polynôme du second degré que j'ai donné, j'ai simplement fabriqué des approximations rationnelles de deux des racines du polynôme de départ et écrit le polynôme à coefficient rationnels qui a pour racines ces approximations rationnelles. Vraiment basique.

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Re: theorie de galois

par alphax » 22 Jan 2020, 01:15

moi je n'ai pas fait d'approximations. c'est pour ca que je croyais qu'elle etait egale

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Re: theorie de galois

par GaBuZoMeu » 22 Jan 2020, 09:26

alphax a écrit:moi je n'ai pas fait d'approximations

Je ne te crois pas.

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Re: theorie de galois

par alphax » 22 Jan 2020, 20:54

si si j'ai pas fait d'approximatios

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Re: theorie de galois

par GaBuZoMeu » 22 Jan 2020, 21:30

Non non, je ne te crois pas.
Si tu veux prouver tes dires, un moyen simple : dire exactement ce que tu as fait.
Mais j'en suis sûr : le fait que les racines réelles du polynôme de degré 4 soient très proches, mais différentes, de celles du polynôme de degré 5 montre qu'il y a eu approximation. Tu as peut-être pris une expression décimale tronquée pour une valeur exacte, ou quelque chose de ce genre.

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Re: theorie de galois

par alphax » 23 Jan 2020, 02:22

je n'ai pas encore trouver la fabrication; mais je n'ai pas pris de valeur approchee, c'est pour ca que j'etais persuade que c'etait egal. par contre ma calculatrice (ti 200 voyage) etait sur le mode auto au lieu de exact, pour le mode exact/approchree, c'est peut etre elle qui a pris une valeur approchee!!??

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Re: theorie de galois

par alphax » 23 Jan 2020, 02:31

comment veux tu trouver des polynomes avec des quotients qui fasse une approximation en e-14 , c'est pas possible, c'est forcement une formule. je vais regarder mes notes pour essayer de trouver l'erreur

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Re: theorie de galois

par alphax » 23 Jan 2020, 04:41

je vais essayer de refaire le calcul en mode exact et si ma calculatrice peut le faire, le cas plus general x^5+p*x+q=0 .on va bien voir

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Re: theorie de galois

par alphax » 23 Jan 2020, 05:33

ma calculatrice ne peut pas calculer le cas avec p et q. dommage
par contre ca peut mettre du temps parce que ma calculatrice est lente quand ca devient complique ,c est comme un ordinateur des annees 80, j'etais passe par une puissance x^24 si je me souviens bien

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Re: theorie de galois

par alphax » 23 Jan 2020, 05:48

j'avais essaye xcas mais lorsque le resultat est trop long, il n'affiche pas le resultat.
je vais regarder sagemath

alphax
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Re: theorie de galois

par alphax » 23 Jan 2020, 06:05

j'aurais certainement pas fini de la nuit, ma calculatrice rame et j'ai 10h de telechargement pour sagemath

alphax
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Re: theorie de galois

par alphax » 23 Jan 2020, 07:40

en mode exact, ma calculatrice n'y arrive pas.
je vais essayer sagemath

 

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