Théorie des nombres et infini

[leanj]

Bonjour à toutes et tous

Sur la ligne des réels de IR comment fait-on pour passer de 0.399999999999999.... etc à 0.34 ?

Merci pour vos réponses.
Jean-Luc

[anthony_unac]

Bonjour,
Rien de plus simple, il n'y a rien à faire pour passer de l'un à l'autre car ces deux écritures représentent le même nombre. Certaines personnes parlent alors de développement décimal impropre. Dans l'absolu, on peut écrire un même nombre de plusieurs manières (ex: 4.9 = 98/20 = 4.89999999... = 7^2/10 etc ...)

[nodgim]

0,39999... = 0,4 et non 0,34.

[Ben314]

0,39999... = 0,4 et non 0,34.

ou alors c'est justement un "piège" comme disent les étudiants et la réponse attendue à la question

comment fait-on pour passer de 0.399999999999999.... etc à 0.34 ?

est "on recule de 0.06".

[nodgim]

Je répondais à Anthony_unac

[anthony_unac]

Au temps pour moi, du coup je ne comprends plus trop l'interrogation de leanj.

[leanj]

oui Nodgim tu as raison, mon problème est de passer de 0.39999999.... etc à 0.4 et non pas 0.34.

Antony_unac, tu parles de " développement décimal impropre" en montrant qu'on peut exprimer un nombre de manière différente dans la même base. Je veux bien, mais à la limite, avec les chiffres que tu donnes, on pourrait penser que 4.9 = 4.8 ce qui est absurde.
Alors quelles sont ces personnes qui parlent de " développement décimal impropre" ?
Et à quelles théories se rattache cette notion de " développement décimal impropre" ?

Merci pour vos réponses.

[Ben314]

Alors quelles sont ces personnes qui parlent de " développement décimal impropre" ?

a) L'ensemble des mathématiciens.
b) Toute personne qui a un peu réfléchi au problème que représente l'écriture décimale de nombre non décimaux et qui a compris que si on veut y arriver, il faut accepter d'avoir une infinité de chiffre aprés la virgule, mais dans ce cas, il faut aussi accepter qu'un même réel puisse avoir deux écriture décimale (exactement comme une même fraction peut s'écrire de plusieurs façons différentes : 1/2 et 2/4 sont deux écritures différentes du même nombre)

Et à quelles théories se rattache cette notion de " développement décimal impropre" ?

Système de numération -> système de numérations positionnels -> bases
Le problème de la non unicité de l'écriture n'est pas spécifique au système décimal : c'est la même chose dans toutes les bases : en base 2, le nombre 1 peut s'écrire soit 1.00000... soit 0.111111....

Je veux bien, mais à la limite, avec les chiffres que tu donnes, on pourrait penser que 4.9 = 4.8 ce qui est absurde

Là, je vois pas bien en quoi ce que dit Antony (i.e. que le même réel admet plusieurs écriture) pourrait "laisser penser" que les réels distincts tels que 4.8 et 4.9 sont les mêmes.
La première fois qu'on t'a dit que 1/2=2/4, est ce que tu as considéré que ça "pourrait laisser penser" que 1/2=1/3 ?

Si ça peut te convaincre, il te suffit de réfléchir 15 secondes à cette égalité :
1/3=0.33333333333... (avec une infinité de 3)
- Soit tu considère que c'est une parfaite égalité et, en multipliant par 3 les deux membres, tu obtient la parfaite égalité 1=0.99999999...... (avec une infinité de 9)
- Soit tu considère que ce n'est pas une parfaite égalité, mais une approximation et dans ce cas, tu réfléchi pour m'expliquer, selon toi, quel est le réel (non parfaitement égal à 0) x=1/3-0.33333... et en particulier, quelle est son écriture décimale (qui évidement ne peut pas être 0.00000...=0 vu que tu considère que 1/3 n'est pas parfaitement égal à 0.333333....)

[samoufar]

Bonsoir,

En réalité la notion de développement décimal impropre est liée à la notion de séries.

Par exemple en base 10, on a 0,99999...=1 et on a bien une infinité de 9 (c'est parfois difficile à concevoir). Plus formellement, ça s'écrirait .

La notion de série est en outre parfaitement définie en mathématiques et très utilisée.

[anthony_unac]

Antony_unac, tu parles de " développement décimal impropre" en montrant qu'on peut exprimer un nombre de manière différente dans la même base. Je veux bien, mais à la limite, avec les chiffres que tu donnes, on pourrait penser que 4.9 = 4.8 ce qui est absurde.

Merci à toi de me remercier d'une éventuelle réponse, mais je ne vois pas ce qui te conduit à penser que 4.9=4.8 en fonction de ce que j'ai écrit. Explique moi en détails le pourquoi car je pense que c'est ce point qui est déterminant dans cette conversation

[leanj]

anthony_unac tu avais écrit :
" Dans l'absolu, on peut écrire un même nombre de plusieurs manières (ex: 4.9 = 98/20 = 4.89999999... = 7^2/10 etc ...)"
et j'avais eu l'impression que tu pouvais négliger les 0.0999999 sous prétexte que cette infinité de 9 correspondait à une utilisation impropre d'un nombre réel.
C'est pour cela que je me suis demandé si avec ton raisonnement on n'en n'arrivas pas à 4.9 = 4.8

samoufar tu as écrit :
"Par exemple en base 10, on a 0,99999...=1" que tu as écrit de manière plus formelle. D'accord, mais vous ne répondez-pas à ma question ! Je comprends bien l'infinité de 9 samoufar, mais c'est le passage qui me pose problème.

Sur la ligne ci dessous, comment fait-on pour passer de 0.999999999 à 1 ?
0_______________________________________________________________________________1
0.999999999999999999999999999999999999999999999999999........

[beagle]

Si tu mets les nombres sur une ligne numérique,
si tu admets que les deux nombres sont différents = deux points séparés de la ligne numérique,
où vas-tu placer les nombres entre ces deux entités, prenons en une simple ,le (0,9999... + 1)/2, celui au milieu.
comment vas tu placer quelque chose entre?

, l'infini des 9 ne sont pas mis temporellement les uns après les autres , de sorte qu'il manque un bout de plus en plus petit entre les deux.Lorsque tu dis infinité de 9 après la virgule, tous les 9 sont placés instantanément, ce qui est difficile à concevoir, mais 0,999... ne tend pas vers 1, au moment où tu l'écrits il est le 1, c'est toi qui essaye de lire tous les 9 les uns après les autres, il en manque, il en manque moins, de moins en moins, etc...Est-ce que je mets trois plombes pour lire 1, ou 2 ou 3.Ben idem 0,999... ne met pas trois plombes à voir , à lire qui il est.Au moment où tu le dis infini, tous les 9 que tu poses toi un par un , sont déjà là,
et il n' y a rien entre ces 9 et les 0 du 1,0000...., il n' y a rien.

[anthony_unac]

Bonjour,
Une autre façon de voir les choses, c'est qu'il n'y a pas précisément de passage de l'un à l'autre. Nous avons une vision trop étriquée des nombres car nous avons l'habitude d'en manipuler qu'une infime parti et du coup on se rattache aux choses que nous connaissons (que nous manipulons au quotidien). Quand on commence à composer avec l'infini en général les problèmes commencent car nous avons une très mauvaise perception de ce que c'est et on cherche systématiquement à rattacher cette notion d'infini à ce qu'on connait (grosse erreur). Par exemple dans votre cas vous cherchez à représenter une infinité de 9. Cela ne se représente pas, car si vous commencez à associer ceci à une longueur ou que sais je(à ce que vous connaissez en somme), vous allez commencer à vouloir ajouter des choses à cette longueur etc ... Restons simple, il n'y a pas de passage entre 0.9999999999... et 1 (ce sont les mêmes nombres, c'est juste que nous les écrivons différemment) comme il y aurait une façon de passer de 9 à 10.

[beagle]

Je n'avais pas lu le 1/3 deBen314,
on peut le prendre dans l'autre sens (le sens du crétin, celui qui me va le mieux!) également.
tu ramasses un baton bien droit.Tu veux le couper en trois morceaux égaux.Ben si t'as 1 baton tu n'y arriveras jamais.
Alors que si tu ramasses par terre 0,999... baton, alors là c'est frisouille pour le partager en trois parties égales.Heureusement que le 0,999... est là finalement, sinon le 1 ne serait jamais partageable en trois.

[zygomatique]

salut

Sur la ligne ci dessous, comment fait-on pour passer de 0.999999999 à 1 ?
0_______________________________________________________________________________1
0.999999999999999999999999999999999999999999999999999........

ne comprends-tu pas, ne vois-tu pas qu'il y a une différence (d'écriture) entre 0,999 et 0,999...

et que ces trois petits points font toute la différence ...

0,999 est le nombre 0,999 qui est différent du nombre 0,99 ou 0,999999 ou 0,999999999999999999999

notons x le nombre 0,999... (ou simplement 0,9...)

x = 0,999...

10x = 9,999....

10x - x = 9

9x = 9

x = 1

donc le nombre x = 0,999... est le nombre 1

bien noter que dans les deux premières égalités il y a des petits points mais plus dans les trois dernières !!!

[beagle]

Je n'avais pas lu le 1/3 deBen314,
on peut le prendre dans l'autre sens (le sens du crétin, celui qui me va le mieux!) également.
tu ramasses un baton bien droit.Tu veux le couper en trois morceaux égaux.Ben si t'as 1 baton tu n'y arriveras jamais.
Alors que si tu ramasses par terre 0,999... baton, alors là c'est frisouille pour le partager en trois parties égales.Heureusement que le 0,999... est là finalement, sinon le 1 ne serait jamais partageable en trois.

tu t'es pas gourré entre l'unité de baton et l'unité de longueur beagle?,
c'est 1 baton de 0,999... unité de longueur plutôt , non?

[beagle]

L'ideal serait que tu sois convaincu à 99,999...% .

[leanj]

Bonjour à tous et merci pour vos explications que me satisfont à moitié !

Beagle, tu écris :
" 0,999... ne tend pas vers 1, au moment où tu l'écrits il est le 1"
et
"Au moment où tu le dis infini, tous les 9 que tu poses toi un par un , sont déjà là,
et il n' y a rien entre ces 9 et les 0 du 1,0000...., il n' y a rien."

C'est intéressant que tu introduises le temps pour montrer comment un nombre contenant un chiffre qui se répète comme 0.9999999... etc , c'est à dire une quantité qui augmente de plus en plus lentement, DOIT être considéré instantanément comme fini ...
Tu alors affirmes qu'il n'y a RIEN entre 0.999999 ... et 1...
Et bien je pense qu'il y un "saut" entre cette quantité qui tend vers et le chiffre 1, un saut instantané qui correspond à la limite de la limite qui est 1

Anthony_mac tu écris :
"Vous cherchez à représenter une infinité de 9. Cela ne se représente pas ..."

Cantor a bien réussi , grâce à la théorie des ensembles, à démontrer qu'il existe des infinis de tailles différentes et qu'il n'existe pas d'ensemble dont le cardinal est compris entre IN et IR . Je ne connais pas les détails, mais j'ai tout de même accepté qu'il y a autant d'entiers que de nombres pairs avec la fonction y=2x et que donc on peut se pencher sur la notion d'Infini ou qu'il y a "autant" d'entiers naturels dans IN que de fractions du type 1/n dans [1,0] de Q.
Alors pour moi, cela ne me poses pas de problème de taquiner l'infini et je dois même dire que cela m'intéresse beaucoup.

Zygomatique : j'ai besoin des petits points !!!

Alors pour continuer en relation avec ce problème, que se passe t'il quand on "coupe" le segment [0,1] (ou un bâton de longueur unité ) en deux, et qu'on continue à couper les moitiés en deux, ?
On peut écrire la suite de nombres : 1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/2n ...... et on dit bien qu'elle "tend vers" 0 quand 2n "tend vers" l'infini...
Cela veut dire qu'après une infinité de divisions il n'y a plus RIEN (n'est ce pas Beagle).....
Pourquoi pas dans un pur Imaginaire mathématique.
MAIS
certainement pas pour un règle de 1 m en or, par exemple, car je pense que si on la coupe en deux et qu'on continue à couper les moitiés en deux, on finit par arriver à une limite : celle de la distance entre 2 atomes d'or.
Comment concilier Imaginaire pur et réalité alors ?

Merci pour vos avis.
Jean-Luc

[anthony_unac]

Manipuler l'infini est un jeu dangereux qui nous amène parfois vers des résultats faux ou étranges (il faut d'entrée de jeu fixer les règles du jeu quand on commence à travailler avec l'infini).
Les gens qui ont travaillé la dessus ont parfois même été piégé aussi doués soient ils.
La perception de l'infini et le mathématicien ... une longue histoire

[beagle]

"entre cette quantité qui tend vers et le chiffre 1,"
c'est le problème d'utiliser le tend vers , la limite vers,
on a l'impression d'y aller de se déplacer, donc quelque part la notion de durée, de temps pour y arriver.

c'est pour cela que j'aime dire que non, on ne va pas vers l'infini des 9,
ils sont déjà là tous ces 9, au moment où tu l'écrits,
donc tant que tu vas courir après, tant ou temps? il te restera du boulot pour arriver 1 fois.