Théorie des nombres et infini

[beagle]

" Le problème aurait eu lieu si on n'avait pas pu trouver des points de segment pour représenter tous les points du cube. "
le petit exemple que j'ai donné prouve que cette phrase n'assure pas la bijection , n'assure pas le autant
si un élement du cube arrive sur deux du segment ben clairement cela ne fait pas le même nombre de chaque coté, et la fonction de segment vers cube n'est même plus une fonction puisqu'il part deux flèches...

[nodgim]

En fait, ce que Ben a observé, c'est que l'association entre points du cube et points du segment n'est pas une bijection, telle qu'elle est construite, à cause des écritures doubles possibles. Mis à part ça, le reste est sauvé. J'avais avancé qu'il y avait "autant" de points sur le segment que dans le cube, et ça reste vrai.

[Ben314]

Si on veut remettre les trucs à plat :

Certains réels de [0,1[ (en fait les décimaux) admettent deux écritures décimales infinies, par exemple 0.4530000...=0.4529999... la première étant appelée "écriture propre" et la deuxième "écriture "impropre".

1) Si on considère la fonction de [0,1[^3->[0,1[ qui au triplet (x,y,z) associe le réel t=0,a1b1c1a2b2c2a3b3c3....
lorsque x=a1a2a3... : y=0,b1b2b3... ; z=0,c1c2c3... alors, pour que ce soit bien un fonction au sens mathématique du mot fonction, il faut qu'un triplet (x,y,z) ait une unique image ce qui signifie que, si x ou y ou z admet deux écriture, il faut absolument préciser laquelle va être utilisé pour faire le "calcul" de t.
Si on décrète par exemple qu'en cas d'ambiguïté, on prend systématiquement l'écriture "propre" pour x,y et z alors le problème, c'est que t=0,000 009 009 009 009... n'a pas d'antécédent par la fonction vu que le seul qu'il pourrait éventuellement avoir correspond à une écriture impropre de z (il y a une seule possibilité car t n'est pas décimal donc n'admet qu'une et une seule écriture décimale infinie)
Donc la fonction en question n'est pas surjective (donc pas bijective), mais on vérifie facilement qu'elle est effectivement injective.
Et comme dans l'autre sens [0,1[->[0,1[^3 on construit "les doigts dans le nez" une injection, par exemple en prenant t->(t,0,0), on peut déduire du théorème de Cantor-Bernstein qu'il existe une bijection de [0,1[ dans [0,1[^3 c'est à dire "qu'il existe autant de points dans [0,1[ que dans [0,1[^3"
Mais je redit que, perso., quand on a affaire à des ensembles infinis, je préfère de loin écrire "il existe une bijection entre ... et ..." que "il y a autant de ... que de ..." : c'est pas plus long à écrire et ça évite les erreurs d'interprétation de l'éventuel profane qui lit le truc (et à mon avis, le profane qui sait pas ce qu'est une bijection, il vaut mieux éviter de lui parler de ce type de truc vu qu'il y a de très forte chance qu'il comprenne tout de travers et qu'il y voie des contradiction/paradoxes de partout...)

2) Si on considère la fonction de [0,1[->[0,1[^3 qui au réel t associe le triplet (x,y,z) où x=0,d1d4d7... , y=0,d2d5d8... ; z=0,d3d6d9... lorsque t=0,d1d2d3d4d5... alors, de nouveau, il faut préciser quelle écriture de t on va prendre lorsque t est décimal.
Et, si on décrète par exemple que dans ce cas, on prend systématiquement l'écriture "propre" de t alors on pourrait vérifier que la fonction ainsi obtenue est bien surjective, mais par contre elle n'est pas injective vu que les deux réels distincts t1=0,000 009 009 009... (qui n'a qu'une seule écriture) et t2=0,001 000 000... (qui a deux écriture, mais celle là est bien la "propre") ont la même image (0 ; 0 ; 0,1).
Donc cette fonction n'est pas bijective non plus.

[beagle]

En fait, ce que Ben a observé, c'est que l'association entre points du cube et points du segment n'est pas une bijection, telle qu'elle est construite, à cause des écritures doubles possibles. Mis à part ça, le reste est sauvé. J'avais avancé qu'il y avait "autant" de points sur le segment que dans le cube, et ça reste vrai.

gregregre, on ne demande pas si c'est vrai, mais de le démontrer,
or une seule fonction ne permet pas d'affirmer la double surjection,
vue qu'alors cela n'est plus une fonction (dans l'autre sens)!
Je sais que Ben314 préfère double injection, mais je réponds ici à nodgim qui dit j'en ai plus (de points , de flèches )qu'il ne faut dans un sens comme dans l'autre = c'est un discours de double surjection.
Sauf que c'est impossible à tenir avec une seule fonction (et sa réciproque).
Avec une seule fonction et je n'en ai pas vu d'autre décrite par nodgim la bijection ne peut ètre établie que si la fonction elle-même est une bijection = surjection et injection.
Les démonstrations à base de double surjection, ou double injection font appel à deux fonctions différentes.
Bref une fonction où il y en a plus des deux cotés , euh????

[nodgim]

Je comprends Beagle.
Le procédé de fermeture-éclair 3 rails est une injection du cube vers le segment seulement si on écrit proprement les nombres décimaux. C'est aussi une surjection dans le sens segment vers cube, sans restriction sur les écritures des décimaux. Il n'y a pas de bijection.

[beagle]

Salut nodgim,
si tu as surjection de segment vers cube c'est le principal, le boulot est fait,
parce que la surjection de cube vers segment est triviale.
Mais avec Ben314 , sur un forum de maths, faut que tout soit nickel chrome dans l'écriture.
Mais nous sommes d'accord qu'avec ta fonction le principal était fait dès le début.
Je crois que la première remarque de Ben314 commençait par "presque".
La première réponse à ta proposition de Ben314 en page 3:
"Le processus dont tu parle marche "presque", mais pas tout à fait."

[beagle]

Perso je retiens les réserves sur le mot "autant" émis par Ben314 lorsque nous avons une bijection dans des ensembles infinis.
Certes Ben314 nous reprend souvent sur de tels sujets sur "qu'avez-vous défini par ceci cela",
mais c'est la première fois que je le vois écrire une telle réserve, enfin avec ces mots là.

Parce que pour moi, depuis le début de ma faible compréhension de ces sujets,
ben le autant de la bijection est pareil au double de et à la moitié de.
Donc quand on en a "autant" on en a aussi la "moitié " et le "double".Sans ètre perturbant cela relativise la notion de "autant" quand même.C'est "juste" le même infini !

[Ben314]

Concernant cet histoire de "... autant que...", c'est aussi un problème de génération : a l'heure actuelle, le seul contexte où un lycéen entend prononcer le mot de "bijection", c'est, me semble t-il, le fameux "théorème de la bijection" qui dit que si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, elle réalise une bijection de I sur f(I) [et ça doit même pas être formulé comme ça vu qu'il me semble qu'on évite le plus possible de parler de continuité).
Donc, il n'ont jamais vu cette notion de bijectivité, ni au primaire avec des patatoïde, ni au collège lorsque l'on manipule des application géométriques (translation, homothétie, symétrie, ...), et ils n'ont quasiment aucun exemple de ce qu'est une fonction (donc une bijection) dans un contexte autre que du "pur numérique".

Pour la grande majorité des élèves que j'ai en 1er année de Fac, une "fonction", c'est uniquement une formule calculatoire avec un paramètre réel et un résultat réel et rien que le fait qu'il puisse y avoir des cas du style "f(x)=... lorsque x...", c'est pas clair que pour eux que ça désigne encore une "fonction" et je suis persuadé que, pour la grande majorité d'entre eux, une suite numérique n->Un c'est pas une fonction.
Alors qu'à mon avis, pour appréhender correctement cette notion de "autant que" définie à l'aide de la notion de bijection, il faut avoir très bien compris que lorsque l'on a une "fonction", les ensemble de départ et d'arrivé, c'est n'importe quoi, des nombres, des points, des vecteurs, voire même (et surtout) des tomates, des carottes,etc...
En particulier, je pense qu'il faut avoir parfaitement compris que, lorsque l'on compte (par exemple des tomates), ce qu'on fait, c'est très exactement une bijection de l'ensemble des tomates sur un ensemble de la forme {1..n}
Pour moi, c'est évidement du "total élémentaire" vu qu'on le voyais à mon époque dés le primaire et qu'on en remettait une couche plusieurs fois par an au Collège et au Lycée. A mon avis, c'est la même chose pour nodgim et beagle vu l'age que je pense qu'ils ont, mais je suis bien certain que c'est pas du tout du tout "évident" pour un Lycéen actuel.

Et tout ce que je raconte, c'est (en partie) axé sur le fait que des personnes visiblement adultes (par exemple le matheux philosophe pour ne pas le nommer) considèrent que cette notion de "autant que" définie avec les bijections n'est "pas bonne" et que pour moi, le seul truc que ça signifie, c'est qu'il n'est pas (assez) familier avec la notion de bijection (encore que le coté "pas bon" de cette notion dans le cas infini, ça résulte aussi très souvent du fait que l'infini est présenté comme un truc "banal" ce qui fait que pas mal d'élèves pensent qu'on peut raisonner intuitivement avec des ensembles infinis)

[zygomatique]

(par exemple le matheux philosophe pour ne pas le nommer)

on veut des noms, on veut des noms !!!

[beagle]

Il ya la notion de bijection dans les ensembles finis.Et là Ben314 a raison je suis de la génération qui a subi (moi avec bonheur, enfin c'est pas pour cette raison que je suis abruti...) les maths modernes.Je crois que j'ai été à cheval le collège maths moderne années lycées non, enfin je ne sais plus.
Donc oui il m'arrive de voir des discussions sur le forum supérieur avec des types qui pataugent là où deux simples patates disent où chercher...

Mais pour le philosophe matheux c'est la notion de bijection dans les ensembles infinis qui ne lui conviennent pas.Et il faut reconnaître que dans ce domaine, ce n'est plus la notion de bijection qui lui pose un soucis, mais celle d'inclusion.Comment un ensemble (habituellement le petit) inclus dans un autre ensemble (habituellement le plus grand) , comment cet ensemble peut-il avoir autant d'élémént que celui dans lequel il est inclus.C'est pourtant une telle qualité des ensembles infinis que cela permet de démontrer qu'un ensemble est infini: le je ne sais plus l'énoncer: un ensemble en bijection avec une de ses parties est un ensemble infini, truc du genre.
Et la première fois que j'ai rencontré cette notion de autant que par la bijection fut la suivante:
nous étions sur un forum du primaire et un gars dit j'ai demandé à mon fils s'il y avait plus de rayons ou de diamètre dans un cercle.réponse du fils il y a deux fois plus de rayons que de diamètre dans le cercle.Et là le père tout heureux de ramener sa science apporte la preuve à son fils qu'il existe une bijection, pour UN unique diamètre UN unique rayon.Et de balancer au fils il y a donc autant de rayons que de diamètre.Bien sur le fil de discussion a duré des pages.Et j'en étais perturbé.Jusqu'à me dire pourquoi ne pas donner raison aux deux.il y a à la fois le même nombre et le double.Quelle définition du double demandera Ben314, ben si pour tout UN unique diamètre j'ai toujours UN unique couple de deux rayons différents, pour tout UN j'ai à chaque fois DEUX, c'est le double.Voilà à mon avis quelque chose qui fait que la notion de "autant car bijection" est de compréhension difficile dans les ensembles infinis.Car cette bijection existe du UN au UN, mais aussi du UN aux DEUX, du UN au 1/2 etc ...

[nodgim]

Je te rejoins complètement, beagle.
Quand Russel annonce que l'écrivain éternel qui met 1 année pour écrire 1 jour de sa vie écrira toute sa vie, je dis oui et non. ça dépend comment on regarde le problème.
Cela dit, les matheux ont construit toute une logique basée sur les bijections. C'est un modèle, et à peu près le seul qui existe. On peut contester, mais il faut bâtir son propre modèle logique, et ça c'est pas le plus simple.

[Ben314]

Concernant le fait qu'il puisse y avoir en même temps "deux fois plus" et "autant" d'éléments dans A que dans B, a mon avis, c'est comme le reste, c'est à dire que si l'on a vu dès le collège qu'une homothétie c'est une bijection (et on peut pas vraiment dire que c'est un résultat "surprenant"), alors on a immédiatement un exemple archi-simple d'un truc qui :
- Vu sous un certain angle "agrandi" (ou "rétréci") les ensemble sur lesquels on l'applique : l'image d'un segment par une homothétie de rapport 2, c'est un segment deux fois plus long.
- Vu sous un autre angle, les ensemble de départ et d'arrivé ont "autant d'éléments" : l'homothétie réalise une bijection du segment de départ sur celui d'arrivé.

Et, à mon sens, les deux résultat çi dessus sont tout les deux "archi-naturels" : le premier est "l'essence même" d'une homothétie et le second dit que, connaissant le dessin "grossi", on retrouve facilement le dessin de base (i.e. il y a une bijection réciproque).