Théorie des nombres et infini

[beagle]

pour les distances coupées en deux que même après on est en dessous de l'atome,
faut pas trop raisonner en physique, mais en lieux
deux points sont identiques ou séparés, ils sont donc au même endroit , ou bien il y a de la place pour mettre le point du milieu.

au mieux il pourrait y avoir des maths avec des points accolés = les points sont différents et pourtant il n' ya pas de distance entre les deux, ils sont collés.Ainsi ton 0,999... serait collé au 1.
Bon je ne sais si ces maths existent, moi mon niveau c'est collège, un peu de notion lycée...

[samoufar]

Bonjour

au mieux il pourrait y avoir des maths avec des points accolés = les points sont différents et pourtant il n' ya pas de distance entre les deux, ils sont collés.Ainsi ton 0,999... serait collé au 1.

La notion de distance en mathématiques n'autorise pas ceci. En effet les distances en mathématiques possèdent toutes la propriété : .

@leanj
Pour rester avec les distances, tu peux effectivement voir 0,999... et 1 comme deux points infiniment proches l'un de l'autre, donc... égaux.

Un peu plus formellement, tu peux voir 0,999... comme la limite à l'infini de la suite (0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; 0,9999 ; ...) et voir ainsi que la suite (1-0,9 ; 1-0,99 ; ...) = (0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ...) "vaut 0 à l'infini".

Encore plus formellement, tu peux écrire (moyennant un théorème d'interversion de somme et de limite et une formule de sommation de termes d'une suite géométrique) que




Et au passage, pour éviter l'utilisation des points de suspension, certains notent .

[Ben314]

A mon sens, concernant cette question qui revient comme un leitmotiv sur le forum, le problème est dans les "non dits" et autres "sous entendus" de l'enseignement Français (et je pense que c'est plus ou moins la même chose ailleurs).
L'enseignement des "nombres", ça commence au début du primaire par les entiers naturels où il est évidement bien trop tôt pour enseigner quoi que ce soit qui ressemble à un théorème, par exemple le fait qu'un entier naturel quelconque admet forcément une et une seule écriture dans le système décimal. De plus, on ne voit plus du tout les autres bases que la base 10 dans le primaire et très très peu d'autre système de numération comme le système romain dans lequel il pouvait éventuellement être accepté deux écriture pour le même nombre : on trouve parfois IIII à la place de IV. Le bilan, c'est que ce "non dit" (= existence et unicité de l'écriture d'un entier naturel sous forme décimale), ça doit venir "tout seul" dans l'esprit des gamins et que, très souvent (et c'est normal) ça devient en quelque sorte une définition de ce qu'est un nombre : un nombre c'est une "écriture décimale" et qu'avec ça comme définition, il n'y a pas vraiment de question à se poser concernant ni l'existence, ni l'unicité de l'écriture : par "définition" deux nombre sont égaux lorsqu'ils "s'écrivent pareil".
Ensuite, je suppose qu'ils voient les nombres décimaux avec lesquels il n'y a toujours pas de problèmes (existence et unicité de l'écriture sous forme décimale) tant que l'on ne s'intéresse pas à la division.
Mais par contre, là où il y a un problème, c'est lorsque l'on s'intéresse à la division et/ou qu'on introduit les quotients où, plutôt que d'expliquer que, par exemple 1/3 n'est pas un décimal et qu'il y a des "trucs" qu'on continue à appeler des "nombres" qui n'ont pas d'écriture décimale, on préfère très souvent dire qu'il existe bien une "espèce d'écriture", mais avec une infinité de chiffres après la virgule. Cette explication a le bon gout d'éviter que l'élève se pose la "question qui tue", à avoir "c'est quoi un nombre ?" et ça évite aussi, (voire surtout) à l'instit. ou au prof d'avoir à répondre à une telle question qu'on aborde au mieux dans un L3 de Math (et encore, pas sûr...). Le "petit" problème, c'est que l'élève en question, il va naturellement se mettre à penser que l'infini, c'est un truc "tout con" et que le fait de "mettre une infinité de chiffres après la virgule", ça ne pose absolument pas le moindre problème (si ça en posait, on lui aurait évidement dit...).
Par exemple, concernant l'évidence absolue qu'est le fait que, concrètement parlant, on ne risque pas d'écrire une infinité de quoi ce soit ou que ce soit et qu'en conséquence, cette "infinité de chiffres", ça ne peut être qu'une vue de l'esprit et surement pas un truc concret, je n'ai pas souvenir d'avoir vu ou que ce soit soulevé le problème.
Si je veut être méchant (et j'aime bien ça), je pourrait dire qu'évidement de faire une quelconque référence à ce "léger problème", ça risquerait fortement d'inciter l'élève/étudiant à se poser des question (très compliquées...) et que c'est pas trop "dans l'air du temps"....

Pour finir, autant je comprend parfaitement que dans le primaire ce type de question soit "en dehors des clous", autant j'ai quand même du mal à admettre que, arrivé à 18 ans, et dans des cursus prétendument "scientifiques" les élèves n'aient jamais entendu parler du "petit problème" concernant le fait de savoir ce qu'est un "nombre".
Cette question a, à de multiples reprise, occupée le "devant de la scène" du monde mathématique et il me semble que, au moins pour leur culture scientifique, ils devraient avoir entendu parler du "problème de racine(2)" chez les Grecs et de la réelle difficulté qu'on a à inventer un "truc" dont le carré est parfaitement égal à 2 (peut-être que le plus important là dedans, c'est de comprendre qu'on doit inventer le truc en question et qu'il ne tombe pas du ciel...)

[beagle]

Il me semble que l'on pourrait regrouper les meilleurs fils de discussion sur ce sujet qui revient en effet souvent, afin de renvoyer à ces réponses.

Ensuite oui il ya des soucis avec l'infini, c'est pas facile de jouer avec ce truc pour un humain .
Maintenant entre dire il y aune infinité de 9 après la virgule,
et la version qui dit que c'est la limite quand on tend vers l'infini,
ben perso pour un type comme moi qui ne maitrise même plus ce que j'avais appris sur les limites, ben je trouve que cela n'est pas plus parlant.Je trouve que cela oblige à aller voir ce qui se passe au bout d'un long voyage, et là l'élève a beau jeu de dire, vous voyez c'est presque, c'est de plus en plus presque,
mais comment savoir si la limite c'est un truc où on se rapproche où un truc que l'on touche?
je ne suis pas sur que cela aide plus.
C'est pour cela que je préfère dire que tous les 9 après la virgule existent, sont déjà là au moment de l'écriture.Cela peut paraître bète mais j'aime bien.

Maintenant à mon petit niveau, l'argument qui m'avait séduit (car au départ je n'étais pas persuadé),
bref l'argument que j'ai préféré, c'est de savoir ce que j'allais pouvoir mettre entre 0,999... et 1
Mettre quoi? et où?
a la réponse il n' ya aura jamais la place d'aller glisser le moindre coin dans ce truc, pour moi cela me convainc que les deux sont au même endroit sur une ligne numérique.

Mais avec d'autres notions plus élaboré je conçois que l'on peut consolider encore mieux cette notion.

[zygomatique]

je plussoie à ces propos (de ben314) et les compléterai par le fait que l'utilisation de la machine sans réflexion conduit à écrire ce genre de chose:

pi = 3,14 (et parfois pi = 3 et d'autre jour pi = 3,1416)

R(2) = 1,41

ou encore comme l'exemple de ben314 1/3 = 0,3 (ou 0,33 ou ... toute écriture avec un nombre fini de 3)

donc au final un nombre "infini" (i.e. avec une infinité de décimales) est fini (n'a qu'un nombre fini de décimales)

et ne peut que conduire à cette incompréhension ...

[leanj]

Bonjour à vous

C'est sur qu'en jouant avec des définitions ou des écritures que l'on peut montrer par exemple que
0.99999 ... = 0.33333 ... + 0.33333...... + 0.3333333 .... = 1/3 +1/3 + 1/3 = 1
et que donc écrire 0.99999..... revient à écrire 1 .

Il n'est plus alors question de faire intervenir le Temps en disant qu'au moment où on écrit 0.99999.....
l'infinité des 9 est écrite et donne naissance à 1,
ou qu'il est impossible en temps d'écrire une infinité de 9,
et que donc l'écriture de 0.99999 ..... ne veut RIEN dire,
et que la seule façon, à la limite, pour aborder le problème est d'écrire : 0.9999999....9 : une quantité finie avec un nombre indéterminé de 9, qui "équivaut" à 1.

Alors le problème devient le suivant :
Puisque la droite représentant tous les réels est continue, sans trou, chaque point ne pouvant définir qu'un et unique emplacement,
si on définit un nombre comme une idée représentant une quantité écrite dans une base occupant une position unique sur la droite de tous les réels,
comment se fait le passage de l'écriture de 1/3, par exemple, à 0.33333.....4 ?
Ou, par exemple, le passage de de 1 à 1.00000....1 ?

Comment s'effectue le passage d'une idée d'un Infini à une idée d'un Fini
ou d'une idée d'un Fini à une idée d'un Infini
en base 10 ?

[beagle]

relis paradoxe de Zénon, achille et la tortue, la flèche qui n'atteint pas sa cible,
tu verras qu'à jouer avec l'infini en le découpant à l'infini, ben cela crée des soucis.
Et si la flèche atteint bien sa cible, c'est bien parce que tout l'infini de la série des moitiés de moitié restantes a été accomplie = c'est idem a sont déjà écrites = sont réalisées.
Et tu as là une autre écriture du 1 qui est une infinité de fractions de plus en plus petite, ben cela ne fait pas que tendre vers 1 , cela atteint 1 réellement.En quoi cette écriture d'une infinité d'éléments fractionnaires serait différente d'une écritue à infinité de 9 (qui sont des fractions décimales ici au lieu des puissances de 2 dans l'autre série).

[Ben314]

comment se fait le passage de l'écriture de 1/3, par exemple, à 0.33333.....4 ?
Ou, par exemple, le passage de de 1 à 1.00000....1

Je ne comprend pas la signification de ton 0.3333...4 et de ton 1.00000.....1
Le 4 (dans le premier cas) et le 1 "final" (dans le second cas), il sont en combien-ième position ?

[nodgim]

Je crois que ce que Leanj a exprimé, c'est de savoir quel était le nombre réel qui suivait un autre réel. La réponse est qu'il n'y en a pas, ou plutôt que celui qu'on pourrait donner ne serait pas le voisin immédiat car on pourra toujours insérer un réel entre 2 réels (et même un rationnel entre 2 réels).

[anthony_unac]

Bonsoir,
Effectivement, Leanj reste dans une logique de construction des réels comme on pourrait construire les entiers. On revient à ce que je disais, les Hommes se raccrochent souvent à ce qu'ils connaissent/manipulent au quotidien mais la en l’occurrence ce n'est pas la bonne méthode pour comprendre les réels.
On ne fera que tourner en rond

[leanj]

oui Nodgim

c'est bien : "savoir quel était le nombre réel qui suivait un autre réel"
que je cherche à comprendre.

Comment démontre t'on que les réels ne se suivent pas ?
Comment démontre t'on qu' il sera toujours possible d' insérer un réel ou un rationnel entre 2 réels" ?

Je sens bien que si on dit qu'une ligne de réels est continue, qu' elle ne doit pas contenir de trous, alors il est impossible de la couper en quelque endroit que ce soit et que donc elle est constituée d'une infinité d'infinis.
Infinité entre 0 et le chiffre suivant et infini entre les chiffres suivant .

par contre Antony_unac, je ne comprend pas ce que tu veux dire par :
"Leanj reste dans une logique de construction des réels comme on pourrait construire les entiers."
Comment construis-tu les entiers ?

[nodgim]

Quand tu choisis 2 réels proches, implicitement, tu définis un écart entre ces 2 nombres. Dans cet écart, ou intervalle, tu peux placer une infinité de réels ou de rationnels. Autant que si tu avais défini un écart mille fois plus grand !
Mieux: il y a autant de points sur un segment compris entre 0 et 1 que dans le carré de coté 1, ou même encore dans le cube de coté 1.

[beagle]

"Comment construis-tu les entiers ?"
à partir du 1 puis +1 puis +1, donc +1 successif

si tu pouvais construire tes réels à partir d'un réel donné , le suivant, puis le suivant, et encore le suivant,
alors tu pourrais je pense créer une bijection entre les entiers et les réels, ce que l'on démontre impossible.

le problème se rapproche de celui du point dans l'espace qui est un lieu , mais de dimension zéro.
Comment dire que deux points sont accolés , avec rien entre.On arrive à faire cela en faisant un gros paté , voici mon point je colle un paté à coté voici son voisin accolé.Sauf que on ne peut pas tracer un point.
Les deux droites parallèles les plus proches l'une de l'autre jusqu' à ètre accolées, on va faire comment?
idem au stylo au feutre je peux faire qu'on ne voit rien entre les deux droites, mais mathématiquement?

[leanj]

Beagle : "le problème se rapproche de celui du point dans l'espace qui est un lieu , mais de dimension zéro."

Nodgim : " il y a autant de points sur le segment compris entre 0 et 1 et dans le cube de coté 1."

Donc il existe une bijection entre :
les lieux de dimension zéro sur le segment unidimensionnel [0,1] et le cube tridimensionnel de côté 1 …

A quelle théorie fait on appel pour démonter cela ?

[beagle]

"A quelle théorie fait on appel pour démonter cela "

tu tapes: Cantor infini

[zygomatique]

courbe de Peano : https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_Peano

[nodgim]

@ leanj: si tu ne trouves pas ton bonheur sur la toile, je peux te faire une démo courte. En fait, c'est tout c..., mais il fallait y penser.

[Ben314]

Personnellement, surtout face à un néophyte, je trouve vraiment, mais alors vraiment pas ça malin du tout d'énoncer le fait qu'il existe une bijection entre [0,1] et [0,1]^3 sous la forme "il y a autant de point dans les deux ensemble".
Je trouve que c'est "enfoncer le clou" dans le sens de faire comme si l'infini, c'était un truc banal et peu différent du fini vu qu'on se permet d'utiliser dans un contexte infini un terme comme "autant de" dont le sens n'est évident que dans le cas fini (et bien sûr sans même préciser qu'il faut poser une définition claire de ce que l'on entend par "autant de" dans le cas infini sachant que cette définition, ça ne sera surement pas "ils ont le même nombre d'éléments")

P.S. : J'offre un sucette et deux carambars à celui qui me trouve un dico. de Français où, dans la définition du mot "autant" il y a une référence à quoi que ce soit d'autre que du fini.

[leanj]

Zygomatique
J'ai suivi ton lien et déjà je bloque à :
" Peano utilise l'existence d'un développement en base trois pour tout nombre réel. Dans l'ensemble des suites à valeurs dans {0,1,2}"
alors merci pour cette aide inutile pour moi.

Nodgim
Oui je veux bien que tu me montres ce truc à la c... auquel il fallait penser!

Beagle
j'ai suivi ton idée de taper Cantor Infini
j'ai alors regardé par exemple https://www.youtube.com/watch?v=M65zysHH3YY qui parle de :
- y=2x pour mettre en évidence qu'il y a autant d'entiers que d'entiers pairs
- Cantor qui a défini l'infini des entiers par aleph 0
- lire l'article de wiki sur la théorie des ensembles (ce que je vais faire)

Et je vais continuer à étudier les résultats de cette idée de taper Cantor Infini
Je vais même chercher en tapant :
" le nombre de points des réels entre 0 et 1 est-il le même que pour un cube de côté 1"

[nodgim]

Alors voila pour la représentation qu'on peut faire d'un point dans un cube de coté 1 par un seul point sur le segment [0,1] :
Un point du cube est identifié par ses 3 coordonnées (x, y, z) comprises entre 0 et 1.
On construit le nombre du segment en attribuant toutes les décimales de x au rang 1 + 3 k des décimales du nombre du segment, toutes le décimales de y au rang 2 + 3k , toutes les décimales de z au rang 3+3k.
Exemple: au point de coordonnées (x = 0.152... ; y = 0.489... ; z = 0,334...) on associe le point du segment 0,143583294.....
Et avec ce nombre unique, on peut retrouver le point du cube.

En écrivant cela, je me rends compte qu'on peut aussi faire ça avec uniquement les rationnels....