Galois inverse

[lapras]

Bonjour,
petit exo pas très méchant mais dont le résultat est sympathique (et ouvre la porte à une grosse généralisation).
Soit G un groupe abélien fini. Montrer qu'il existe une extension galoisienne L de Q (le corps des rationnels) de groupe de galois G.


Lapras :lol3:

[Nightmare]

Hello,

Je me suis toujours demandé à quoi servait la théorie de Galois inverse, tu as une idée d'application d'un tel résultat?

[Nightmare]

Oui, c'est un beau problème c'est sûr. Galois lui même s'y intéressait-il? Si oui, je me refuse à croire qu'il ne le faisait que par esthétique.

[Elerinna]

Le petit pas vers la conjecture qu'un groupe fini est celui de Galois d'une extension galoisienne des nombres rationnels ? Qu'en est-il des applications à cette théorie (hors celle de l'information et cryptologie) ?

[Doraki]

Pour les extensions abéliennes, tu peux le faire explicitement en trouvant un n tel que G est un quotient de (Z/nZ)* (qui est le groupe de Galois de X^n-1)

[lapras]

Oué, encore faut il montrer que tout groupe abélien fini est quotient d'un (Z/nZ)*.