Somme des inverses des nombres premiers

par **lapras** » 07 Déc 2008, 10:16

Bonjour,
Montrer que la somme des inverses des nombres premiers diverge.
Lapras

par **nodgim** » 07 Déc 2008, 10:43

Il me semble que cette question a été posée, je ne sais plus où. ça évolue comme le log du log, non?

par **lapras** » 07 Déc 2008, 10:46

Peut être, je ne sais pas...
:)

par **ThSQ** » 07 Déc 2008, 10:56

Si c'est classique (démo de Euler) et ça diverge en ln(ln(n)) donc faut pas être trop pressé non plus !

par **lapras** » 07 Déc 2008, 11:06

Je ne vous demande pas de ressortir la démo d'Euler ou Erdos. Je poste cet exo car il est, malgré les apparences, faisable de manière élémentaire. (quelques lignes).

par **ThSQ** » 07 Déc 2008, 11:22

Sauf erreur on t'a rien ressorti du tout, qu'est-ce tu racontes ?

Bien sûr c'est élémentaire quand on connait l'astuce. Quelqu'un qui la trouve vraiment tout seul ....

par **ffpower** » 07 Déc 2008, 11:23

une demo plus élémentaire que la formule d euler?je veux voir ca..

par **Redbul.** » 07 Déc 2008, 11:28

comment fait on pour effacer un message ...

par **lapras** » 07 Déc 2008, 11:37

En fait dans cette démo il n'y a pas besoin de logarithmes ni rien. Je n'ai pas dit que c'était facile de trouver l'astuce !
Bonne chance :)
PS : l'astuce n'est pas de moi

par **Imod** » 07 Déc 2008, 11:46

D'un autre côté si la démo est plus astucieuse et plus courte que celle d'Euler ou d'Erdös , je vois mal le forumeur moyen la découvrir seul :doh:

Imod

par **Zweig** » 07 Déc 2008, 11:46

Du bouquin d'Hardy :

On suppose que la série est convergente. Alors on peut choisir un j tel que le reste de la série après le j-ème terme est plus petit que 1/2, ie :

. Donc

, le nombre d'entiers

divisibles par au moins un des nombres

,

,... est inférieur à

Si on écrit un tel

sous la forme

où

n'a aucun facteur carré, nous avons

où les

sont tous égaux à 0 ou 1. On a

choix possibles pour les exposants et donc au plus

valeurs différentes de m. De plus nous avons

. Il y'a donc, au plus,

valeurs différentes de

, ainsi :

. On obtient en fait

Or ceci est faux pour

. Donc la série est divergente.

par **Imod** » 07 Déc 2008, 11:50

Si je ne m'abuse il s'agît de la démonstration d'Erdös telle qu'on peut la lire dans "Le Grand Livre" !

Imod

par **Zweig** » 07 Déc 2008, 11:51

Ce n'était pas précisé ...

par **ffpower** » 07 Déc 2008, 11:53

il a dit "Je ne vous demande pas de ressortir la démo d'Euler ou Erdos"...Cela dit je ne la connaissiat pas,donc c est bien de l avoir postée^^..Cela dit je prefere la demo d Euler

par **acoustica** » 07 Déc 2008, 11:53

Zweig a écrit:Du bouquin d'Hardy[/TEX]

Or ceci est faux pour . Donc la série est divergente.

C'est quoi ce bouquin? Il a l'air bien! Si il est sur ordi, tu peux me l'envoyer? :happy2:

par **Zweig** » 07 Déc 2008, 11:54

Bah écoute, quand j'ai rédigé la démo, je n'avais pas vu son message.

par **Zweig** » 07 Déc 2008, 11:54

Il existe en effet une version numérisée de ce bouquin ... en anglais !

par **acoustica** » 07 Déc 2008, 11:55

Zweig a écrit:Il existe en effet une version numérisée de ce bouquin ... en anglais !

Encore mieux!

par **Zweig** » 07 Déc 2008, 11:56

Ok j't'envois ça en MP.

par **acoustica** » 07 Déc 2008, 11:56

Zweig a écrit:Ok j't'envois ça en MP.

Super merci!! :we: :we: :we:
Il est pas trop volumineux, il va passer?

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