Somme des inverses des nombres premiers

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
lapras
Membre Transcendant
Messages: 3664
Enregistré le: 01 Jan 2007, 13:00

Somme des inverses des nombres premiers

par lapras » 07 Déc 2008, 11:16

Bonjour,
Montrer que la somme des inverses des nombres premiers diverge.
Lapras



nodgim
Habitué(e)
Messages: 1727
Enregistré le: 27 Jan 2008, 11:21

par nodgim » 07 Déc 2008, 11:43

Il me semble que cette question a été posée, je ne sais plus où. ça évolue comme le log du log, non?

lapras
Membre Transcendant
Messages: 3664
Enregistré le: 01 Jan 2007, 13:00

par lapras » 07 Déc 2008, 11:46

Peut être, je ne sais pas...
:)

ThSQ
Membre Complexe
Messages: 2077
Enregistré le: 10 Oct 2007, 18:40

par ThSQ » 07 Déc 2008, 11:56

Si c'est classique (démo de Euler) et ça diverge en ln(ln(n)) donc faut pas être trop pressé non plus !

lapras
Membre Transcendant
Messages: 3664
Enregistré le: 01 Jan 2007, 13:00

par lapras » 07 Déc 2008, 12:06

Je ne vous demande pas de ressortir la démo d'Euler ou Erdos. Je poste cet exo car il est, malgré les apparences, faisable de manière élémentaire. (quelques lignes).

ThSQ
Membre Complexe
Messages: 2077
Enregistré le: 10 Oct 2007, 18:40

par ThSQ » 07 Déc 2008, 12:22

Sauf erreur on t'a rien ressorti du tout, qu'est-ce tu racontes ?

Bien sûr c'est élémentaire quand on connait l'astuce. Quelqu'un qui la trouve vraiment tout seul ....

ffpower
Membre Complexe
Messages: 2542
Enregistré le: 13 Déc 2007, 05:25

par ffpower » 07 Déc 2008, 12:23

une demo plus élémentaire que la formule d euler?je veux voir ca..

Redbul.
Membre Naturel
Messages: 22
Enregistré le: 06 Mai 2008, 18:46

par Redbul. » 07 Déc 2008, 12:28

comment fait on pour effacer un message ...

lapras
Membre Transcendant
Messages: 3664
Enregistré le: 01 Jan 2007, 13:00

par lapras » 07 Déc 2008, 12:37

En fait dans cette démo il n'y a pas besoin de logarithmes ni rien. Je n'ai pas dit que c'était facile de trouver l'astuce !
Bonne chance :)
PS : l'astuce n'est pas de moi

Imod
Habitué(e)
Messages: 6377
Enregistré le: 12 Sep 2006, 12:00

par Imod » 07 Déc 2008, 12:46

D'un autre côté si la démo est plus astucieuse et plus courte que celle d'Euler ou d'Erdös , je vois mal le forumeur moyen la découvrir seul :doh:

Imod

Zweig
Membre Complexe
Messages: 2010
Enregistré le: 02 Mar 2008, 03:52

par Zweig » 07 Déc 2008, 12:46

Du bouquin d'Hardy :

On suppose que la série est convergente. Alors on peut choisir un j tel que le reste de la série après le j-ème terme est plus petit que 1/2, ie :

. Donc , le nombre d'entiers divisibles par au moins un des nombres , ,... est inférieur à



Si on écrit un tel sous la forme n'a aucun facteur carré, nous avons où les sont tous égaux à 0 ou 1. On a choix possibles pour les exposants et donc au plus valeurs différentes de m. De plus nous avons . Il y'a donc, au plus, valeurs différentes de , ainsi : . On obtient en fait

Or ceci est faux pour . Donc la série est divergente.

Imod
Habitué(e)
Messages: 6377
Enregistré le: 12 Sep 2006, 12:00

par Imod » 07 Déc 2008, 12:50

Si je ne m'abuse il s'agît de la démonstration d'Erdös telle qu'on peut la lire dans "Le Grand Livre" !

Imod

Zweig
Membre Complexe
Messages: 2010
Enregistré le: 02 Mar 2008, 03:52

par Zweig » 07 Déc 2008, 12:51

Ce n'était pas précisé ...

ffpower
Membre Complexe
Messages: 2542
Enregistré le: 13 Déc 2007, 05:25

par ffpower » 07 Déc 2008, 12:53

il a dit "Je ne vous demande pas de ressortir la démo d'Euler ou Erdos"...Cela dit je ne la connaissiat pas,donc c est bien de l avoir postée^^..Cela dit je prefere la demo d Euler

acoustica
Membre Irrationnel
Messages: 1043
Enregistré le: 08 Juil 2008, 11:00

par acoustica » 07 Déc 2008, 12:53

Zweig a écrit:Du bouquin d'Hardy[/TEX]

Or ceci est faux pour . Donc la série est divergente.

C'est quoi ce bouquin? Il a l'air bien! Si il est sur ordi, tu peux me l'envoyer? :happy2:

Zweig
Membre Complexe
Messages: 2010
Enregistré le: 02 Mar 2008, 03:52

par Zweig » 07 Déc 2008, 12:54

Bah écoute, quand j'ai rédigé la démo, je n'avais pas vu son message.

Zweig
Membre Complexe
Messages: 2010
Enregistré le: 02 Mar 2008, 03:52

par Zweig » 07 Déc 2008, 12:54

Il existe en effet une version numérisée de ce bouquin ... en anglais !

acoustica
Membre Irrationnel
Messages: 1043
Enregistré le: 08 Juil 2008, 11:00

par acoustica » 07 Déc 2008, 12:55

Zweig a écrit:Il existe en effet une version numérisée de ce bouquin ... en anglais !

Encore mieux!

Zweig
Membre Complexe
Messages: 2010
Enregistré le: 02 Mar 2008, 03:52

par Zweig » 07 Déc 2008, 12:56

Ok j't'envois ça en MP.

acoustica
Membre Irrationnel
Messages: 1043
Enregistré le: 08 Juil 2008, 11:00

par acoustica » 07 Déc 2008, 12:56

Zweig a écrit:Ok j't'envois ça en MP.

Super merci!! :we: :we: :we:
Il est pas trop volumineux, il va passer?

 

Retourner vers ⚔ Défis et énigmes

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 5 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite