Somme des inverses des nombres premiers

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lapras
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Somme des inverses des nombres premiers

par lapras » 07 Déc 2008, 12:16

Bonjour,
Montrer que la somme des inverses des nombres premiers diverge.
Lapras



nodgim
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par nodgim » 07 Déc 2008, 12:43

Il me semble que cette question a été posée, je ne sais plus où. ça évolue comme le log du log, non?

lapras
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par lapras » 07 Déc 2008, 12:46

Peut être, je ne sais pas...
:)

ThSQ
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par ThSQ » 07 Déc 2008, 12:56

Si c'est classique (démo de Euler) et ça diverge en ln(ln(n)) donc faut pas être trop pressé non plus !

lapras
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par lapras » 07 Déc 2008, 13:06

Je ne vous demande pas de ressortir la démo d'Euler ou Erdos. Je poste cet exo car il est, malgré les apparences, faisable de manière élémentaire. (quelques lignes).

ThSQ
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par ThSQ » 07 Déc 2008, 13:22

Sauf erreur on t'a rien ressorti du tout, qu'est-ce tu racontes ?

Bien sûr c'est élémentaire quand on connait l'astuce. Quelqu'un qui la trouve vraiment tout seul ....

ffpower
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par ffpower » 07 Déc 2008, 13:23

une demo plus élémentaire que la formule d euler?je veux voir ca..

Redbul.
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par Redbul. » 07 Déc 2008, 13:28

comment fait on pour effacer un message ...

lapras
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par lapras » 07 Déc 2008, 13:37

En fait dans cette démo il n'y a pas besoin de logarithmes ni rien. Je n'ai pas dit que c'était facile de trouver l'astuce !
Bonne chance :)
PS : l'astuce n'est pas de moi

Imod
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par Imod » 07 Déc 2008, 13:46

D'un autre côté si la démo est plus astucieuse et plus courte que celle d'Euler ou d'Erdös , je vois mal le forumeur moyen la découvrir seul :doh:

Imod

Zweig
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par Zweig » 07 Déc 2008, 13:46

Du bouquin d'Hardy :

On suppose que la série est convergente. Alors on peut choisir un j tel que le reste de la série après le j-ème terme est plus petit que 1/2, ie :

. Donc , le nombre d'entiers divisibles par au moins un des nombres , ,... est inférieur à



Si on écrit un tel sous la forme n'a aucun facteur carré, nous avons où les sont tous égaux à 0 ou 1. On a choix possibles pour les exposants et donc au plus valeurs différentes de m. De plus nous avons . Il y'a donc, au plus, valeurs différentes de , ainsi : . On obtient en fait

Or ceci est faux pour . Donc la série est divergente.

Imod
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par Imod » 07 Déc 2008, 13:50

Si je ne m'abuse il s'agît de la démonstration d'Erdös telle qu'on peut la lire dans "Le Grand Livre" !

Imod

Zweig
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par Zweig » 07 Déc 2008, 13:51

Ce n'était pas précisé ...

ffpower
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par ffpower » 07 Déc 2008, 13:53

il a dit "Je ne vous demande pas de ressortir la démo d'Euler ou Erdos"...Cela dit je ne la connaissiat pas,donc c est bien de l avoir postée^^..Cela dit je prefere la demo d Euler

acoustica
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par acoustica » 07 Déc 2008, 13:53

Zweig a écrit:Du bouquin d'Hardy[/TEX]

Or ceci est faux pour . Donc la série est divergente.

C'est quoi ce bouquin? Il a l'air bien! Si il est sur ordi, tu peux me l'envoyer? :happy2:

Zweig
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par Zweig » 07 Déc 2008, 13:54

Bah écoute, quand j'ai rédigé la démo, je n'avais pas vu son message.

Zweig
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par Zweig » 07 Déc 2008, 13:54

Il existe en effet une version numérisée de ce bouquin ... en anglais !

acoustica
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par acoustica » 07 Déc 2008, 13:55

Zweig a écrit:Il existe en effet une version numérisée de ce bouquin ... en anglais !

Encore mieux!

Zweig
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par Zweig » 07 Déc 2008, 13:56

Ok j't'envois ça en MP.

acoustica
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par acoustica » 07 Déc 2008, 13:56

Zweig a écrit:Ok j't'envois ça en MP.

Super merci!! :we: :we: :we:
Il est pas trop volumineux, il va passer?

 

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