Somme des inverses des nombres premiers
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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lapras
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par lapras » 07 Déc 2008, 12:16
Bonjour,
Montrer que la somme des inverses des nombres premiers diverge.
Lapras
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nodgim
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par nodgim » 07 Déc 2008, 12:43
Il me semble que cette question a été posée, je ne sais plus où. ça évolue comme le log du log, non?
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lapras
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par lapras » 07 Déc 2008, 12:46
Peut être, je ne sais pas...
:)
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ThSQ
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par ThSQ » 07 Déc 2008, 12:56
Si c'est classique (démo de Euler) et ça diverge en ln(ln(n)) donc faut pas être trop pressé non plus !
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lapras
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par lapras » 07 Déc 2008, 13:06
Je ne vous demande pas de ressortir la démo d'Euler ou Erdos. Je poste cet exo car il est, malgré les apparences, faisable de manière élémentaire. (quelques lignes).
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ThSQ
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par ThSQ » 07 Déc 2008, 13:22
Sauf erreur on t'a rien ressorti du tout, qu'est-ce tu racontes ?
Bien sûr c'est élémentaire quand on connait l'astuce. Quelqu'un qui la trouve vraiment tout seul ....
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ffpower
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par ffpower » 07 Déc 2008, 13:23
une demo plus élémentaire que la formule d euler?je veux voir ca..
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Redbul.
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par Redbul. » 07 Déc 2008, 13:28
comment fait on pour effacer un message ...
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lapras
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par lapras » 07 Déc 2008, 13:37
En fait dans cette démo il n'y a pas besoin de logarithmes ni rien. Je n'ai pas dit que c'était facile de trouver l'astuce !
Bonne chance :)
PS : l'astuce n'est pas de moi
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Imod
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par Imod » 07 Déc 2008, 13:46
D'un autre côté si la démo est plus astucieuse et plus courte que celle d'Euler ou d'Erdös , je vois mal le forumeur moyen la découvrir seul :doh:
Imod
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Zweig
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par Zweig » 07 Déc 2008, 13:46
Du bouquin d'Hardy :
On suppose que la série est convergente. Alors on peut choisir un j tel que le reste de la série après le j-ème terme est plus petit que 1/2, ie :
. Donc
, le nombre d'entiers
divisibles par au moins un des nombres
,
,... est inférieur à
Si on écrit un tel
sous la forme
où
n'a aucun facteur carré, nous avons
où les
sont tous égaux à 0 ou 1. On a
choix possibles pour les exposants et donc au plus
valeurs différentes de m. De plus nous avons
. Il y'a donc, au plus,
valeurs différentes de
, ainsi :
. On obtient en fait
Or ceci est faux pour
. Donc la série est divergente.
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Imod
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par Imod » 07 Déc 2008, 13:50
Si je ne m'abuse il s'agît de la démonstration d'Erdös telle qu'on peut la lire dans "Le Grand Livre" !
Imod
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Zweig
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par Zweig » 07 Déc 2008, 13:51
Ce n'était pas précisé ...
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ffpower
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par ffpower » 07 Déc 2008, 13:53
il a dit "Je ne vous demande pas de ressortir la démo d'Euler ou Erdos"...Cela dit je ne la connaissiat pas,donc c est bien de l avoir postée^^..Cela dit je prefere la demo d Euler
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acoustica
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par acoustica » 07 Déc 2008, 13:53
Zweig a écrit:Du bouquin d'Hardy[/TEX]
Or ceci est faux pour
. Donc la série est divergente.
C'est quoi ce bouquin? Il a l'air bien! Si il est sur ordi, tu peux me l'envoyer? :happy2:
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Zweig
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par Zweig » 07 Déc 2008, 13:54
Bah écoute, quand j'ai rédigé la démo, je n'avais pas vu son message.
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Zweig
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par Zweig » 07 Déc 2008, 13:54
Il existe en effet une version numérisée de ce bouquin ... en anglais !
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acoustica
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par acoustica » 07 Déc 2008, 13:55
Zweig a écrit:Il existe en effet une version numérisée de ce bouquin ... en anglais !
Encore mieux!
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Zweig
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par Zweig » 07 Déc 2008, 13:56
Ok j't'envois ça en MP.
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acoustica
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par acoustica » 07 Déc 2008, 13:56
Zweig a écrit:Ok j't'envois ça en MP.
Super merci!! :we: :we: :we:
Il est pas trop volumineux, il va passer?
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