Série des inverses

par **Nightmare** » 29 Oct 2010, 20:58

Hello,

j'ai remarqué ça aujourd'hui : La somme des inverses des entiers diverge, mais la somme des inverses des entiers qui ne contiennent pas le chiffre 0 (ou 1, ou 2, ou ... peu importe) converge.

Bon je vous l'accorde c'est très facile.

par **benekire2** » 29 Oct 2010, 21:11

Salut nightmare !

Mais c'est totalement magnifique tout ça :doh:

En nottant

la somme des inverses des nombres a n chiffres différent de 1 on arrive facilement a faire des majoration sur chaque "paquet" et en calculant a1=1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9 et a2 qui contient 72 termes on montre facilement que il y a 9 fois plus de termes dans an que dans a_(n-1) et il me semble qu'on conclus. :happy2:

par **Nightmare** » 29 Oct 2010, 21:16

L'idée des paquets est bonne, mais comment conclus-tu exactement? Ok pour le nombre de termes, et?

par **nodjim** » 29 Oct 2010, 21:55

C'est drôle tout de même, 9/10 de l'infini n'est plus l'infini ?
Et en plus la somme des inverses des premiers diverge aussi, alors que la proportion est à un moment donné < 1/10.
Ah oui ce n'est pas le 0 final, je comprends..
Oui curieux tout de même.

par **benekire2** » 29 Oct 2010, 22:39

Et bien je conclus en disant que a1+a2+...an < 8+...+8.(9/10)^(n-1) et c'est une somme géométrique de |raison|<1 . En fait pour compléter ce que j'avais dit pour cette inégalité , dans a1 tout les termes osnt plus petit que 1 et donc dans ak plus petit que 10^(1-k). Ce soir je suis un peu fatigué je l'ai écrit a l'arrache mais en principe tout roule :lol3:

par **benekire2** » 29 Oct 2010, 22:43

Et sinon pour la somme des inverses des nombres premiers, j'ai du mal a voir comment on fait, ça fait appel a des techniques plus complexes ou alors c'est un tout petit peu plus astucieux ?

Si quelqu'un a la preuve je suis preneur ! Merci à vous :happy3:

par **nodjim** » 29 Oct 2010, 22:45

Sauf erreur, pour la somme des inverses à 2 chiffres sans le 0: 9² chiffres. Le min de la somme est 9²/10²=9/10.
Même résultat pour la somme des 3 chiffres:9/10.
ça converge ?

par **Ben314** » 29 Oct 2010, 23:29

Pour la somme des inverses des nombres premiers, l'idée (à rédiger proprement) est que, du fait que tout nombre entier se décompose de façon unique en un produit de premiers à certains exposants, on a :

Or

et, pour

"grand"

Pour rédiger tout ça "bien propre", il vaut mieux utiliser des sommes et produits finis et des inégalités.

par **benekire2** » 30 Oct 2010, 14:29

Merci beaucoup ben :lol3:

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