Somme des inverses des coefficients binomiaux

[Ben314]

Salut tout le monde (ou ce qu'il en reste . . .)
En noircissant du papier, je viens de trouver une identité rigolote que je ne connaissait pas :
Pouvez vous exprimer la somme à l'aide d'une somme ne comportant pas de coefficients binomiaux (ni de factorielles, ni rien de plus compliqué bien sûr).

[phyelec]

Bonjour,
je pense que c'est une géométrique.

[caillou1]

Bonjour,

On peut montrer que (c'est le plus délicat).

Puis par récurrence que

[Ben314]

Nickel Chrome

Et s'il y en a que ça intéresse, cette somme, je suis tombé dessus en (re)cherchant une vieille énigme du site (correspondant à la Q1 avec n=7 et que j'ai aussi posé sur "les mathématiques.net") :
Sur une table sont posées pièces avec leur coté pile visible. On tire au hasard (et avec équiprobabilité) une pièce et on la retourne. On recommence l'opération jusqu'à ce que toute les pièces aient leur coté face visible.
Q1) En moyenne, combien d'étapes faut-il ?
Q2) Quelle est la proba. d'aboutir sans jamais être repassé par l'état initial ?
Q3) Quelle sont les variations de cette proba ? (min ? max ?)

[phyelec]

Bonjour,

Honte à moi, grosse erreur sur mon poste ( cela ne pouvait pas être aussi simple). J'ai repris les choses et tout ce que j'ai trouvé c'est que la limite vaut 2. Après comment Caillou trouve son résultat , je ne vois pas. Je n'ai pas trouvé sur mathématique.net

[Ben314]

Perso., j'ai procédé avec les mêmes étapes que caillou. Je ne sais pas comment il a démontré la formule de récurrence "délicate", mais moi, j'ai utilisé utilisé de façon un peu astucieuse les deux égalités .

Concernant les math.net, c'est là :
https://les-mathematiques.net/vanilla/d ... nt_2472368

[caillou1]

Bonjour à tous,
Je retranscris ici la démonstration de la formule de récurrence "délicate" telle que je l'avais écrite "ailleurs" il n'y a pas loin de 6 ans :

(en sortant le terme pour de la somme).

On calcule le produit :

(en simplifiant par dans la somme).

(On écrit que deux fois la somme = somme + somme et on fait le changement d'indice dans la seconde).

(On regroupe les deux sommes et on factorise).







En fait si on définit par , on a:

-
- et vérifient la même relation de récurrence (du premier ordre).

Donc pour tout entier naturel .

La récurrence qui suit est facile. Mais tout ceci est assez artificiel.
A mon sens une démonstration directe (sans récurrence) est préférable.

[phyelec]

Merci Ben314 et Caillou1. Je vais potasser tout cela.

[Ben314]

Grosso modo, j'avais fait pareil :

[caillou1]

Bonjour,
Petit défi : chercher (et trouver !) une preuve directe (sans récurrence).
Je ne l'ai pas pour l'instant mais je pense que c'est faisable (probablement pas facile).
P.S. Le site ne marche pas bien : j'ai eu un mal de chien à poster avec des "erreurs" en pagaille.

[Ben314]

Sinon, un truc que je viens de voir, c'est que, si tu écrit alors les c'est les nombres de Fubini

[Ben314]

Je pense avoir une preuve plus ou moins sans récurrence du bidule, mais avec une partie passablement capillotractée . . .

[catamat]

Je suis toujours admiratif de vos belles démonstrations, je l'ai lu avec toute l'attention qu'elle mérite.

Il y a toutefois une ligne que je ne saisis pas c'est l'avant dernière.

Je ne comprends pas pourquoi le "k parmi l" de l'avant dernière ligne devient un "k parmi n" ?

Pour moi vous utilisez la linéarité de l'intégrale donc le coefficient binomial passe devant l'intégrale sans modification.

Toujours d'après moi à la fin on devait avoir "k+1 parmi l+1" puisque vous avez divisé par l+1 de façon à obtenir (l+1)!

Si j'ai rien compris au film merci de m'expliquer.

[Ben314]

Il y avait quelques erreurs à la fin (liées au fait qu'au début, j'avais tapé le truc pour un entier puis en fait, je l'ai utilisé pour l'entier et j'ai raté quelques "copier-coller").

J'ai modifié le pdf et je pense que c'est bon là, non ?

Sinon, concernant l'égalité "sortie de nulle part" :
Est ce que tu vois comment je l'ai trouvé (en fait, après avoir pas mal cherché en vain, j'ai plus ou moins "triché", mais je me demande s'il y a une façon "naturelle" de l'obtenir.)
Je viens de regarder que, pour un complexe de module , elle dit
qui est assez bizarre (mélange de multiple de l'angle et de puissance du cosinus ???)

P.S. Depuis quand tu me vouvoie ???

[catamat]

Depuis quand tu me vouvoie ???

Désolé mais j'ai pas réfléchi, c'était instinctif sans doute...

Pour ta question non je ne vois pas trop, je me suis contenté de suivre pas à pas et j'ai déjà appris ou réappris pas mal de choses.

[Ben314]

Concernant la "formule sortie de nulle part", la triche, c'est que je suis parti de là (c.f. message précédent)


Et que j'ai regardé ce que ça signifiait pour l'intégrale histoire de savoir comment il falait décomposer la fonction pour obtenir le bon résultat.