La fabrication des nombres premiers

[monoxyde76]

bonjour à tous, je reprends un bout d'un topic sur la conjecture de Goldbach

" Citation:
Posté par monoxyde76
ben justement si ! Pour p donné, je suis capable de déterminer tous les P qu'il peut fabriquer dans la formule : P = n*n+n+p

Déjà, ça, je demande à voir... "

je suis prêt à relever le défi bien que je me garderai de tout révéler. Dire de quoi sont constitués les filtres qui permettent de sélectionner que les nombres premiers reviendrait sans doute à rendre accessible la cryptographie à la vindicte populaire. Mais bon ceci est un autre problème...

Bonne lecture.

[monoxyde76]

Les nombres chanceux d’Euler
Leonhard Euler découvre en 1774 des polynômes de la forme n² + n + 17 puis de la forme n² + n + 41 qui donnent des p pour n allant de 0 à p;)- 1 avec p;) égal à 17 ou 41. Par la suite, on appellera nombre chanceux d’Euler tout entier vérifiant : ;) x ;) [ 0 – n-1 ] x² - x + n = p
Il est démontré qu’il n’en existe pas d’autres que 2, 5, 11, 17, 41.
En réalité, pour tout n impair, ce genre de polynôme pourra donner des p mais avec un rendement plus ou moins important. Ainsi le polynôme n² - n + 41 donne 47.5% de p pour n allant jusqu’à 10*10;). Ulam trouva des polynômes avec des taux en pourcentage aussi bon que ceux d’Euler.
Observation : En réalité, les polynômes x² - x + n = p et les polynômes x² + x + n = p sont une et une seule même écriture.

Les nombres chanceux d’Ulam
Sur une grille de n nombres, un chiffre sur 2 est rayé, puis un sur 3, puis un sur 5, puis un sur 7, jusqu’à un p limitant. Un ensemble de nombres - dit chanceux car ayant réussi à passer le crible, est obtenu. Les propriétés de cet ensemble sont proches de celles de l’ensemble P des nombres premiers tant en ce qui concernent leur répartition que les conjectures.

D’autres formulations des nombres premiers
Les nombres premiers de Sophie Germain constituent les couples ( p,q ) de nombres premiers tel que q = 2p + 1. Ils seraient en nombre infini.
Les nombres premiers de Woodall sont de la forme W = n * 2;) - 1 .
Les nombres premiers de Woodall généralisés sont de la forme W_G = n * b;) - 1 avec b ;) N . Ils seraient en nombre infini.

Fermat pensait avoir trouvé une formule qui ne donnait que des nombres premiers : F_n = 2^X + 1 avec X =2;). Malheureusement, il s’était arrêté à l’indice 4. Au delà, des nombres composés ont été trouvés. Certains persistent tout de même à se demander si une quantité infinie de nombres premiers peut être donnée par cette formule. Guère d’intérêt : croissance quasi-exponentielle, chiffres énormes, calcul sur PC vite impossible ; entre deux nombres de Fermat de plus en plus non premiers, l’infini s’agrandit. S’il devient premier, ce sera du au hasard mais après un taux d’échec faramineux.
F;) = 3 F;) = 5 F;) = 17 F;) = 257 F;) = 65 537
F;) = 641 * 6 700 417 = 4 294 967 297 F;) = 274 117 * 67 280 421 310 721
Mersenne aussi pensait avoir trouvé une formule : le nombre de Mersenne vaut M_n= 2;) - 1 , avec n qui est un nombre premier . Quand M_n est premier alors n est premier ; quand n est premier M_n n’est pas forcément premier. Cette formule croît rapidement et donc laisse un grand nombre de premiers à dénicher entre chaque itération.
RQ1 : Pour n pair >2, M_n vaut soit un multiple de 3 soit un multiple de 15 (ou de 3, ou de 5)
RQ2 : Pour n impair composé, M_n vaut un nombre composé.
Ces formules ne permettent pas un recensement complet des nombres premiers. Nous atteignons rapidement des nombres astronomiques sans connaissance de la répartition effective entre deux nombres M_n .
Par contre, ce qui est sûr c’est que chaque nombre premier p est compris entre un n et 2n, ou autre formulation possible : il existe au minimum un nombre premier entre n et 2n.
Soit : ;) p ;)P ;) n ;)N / n < p < 2n
Ce qui lorsqu’on y regarde de plus prés n’est guère une trouvaille, puisqu’il existe toujours une quantité de p compris dans l’intervalle [ n , 2n ] , qui augmente quasi-linéairement avec la valeur de n. Cette constatation pourrait être l’amorce d’une contre-indication de la densité nulle des p (théorème de raréfaction de Legendre (1752-1833) .

[monoxyde76]

La fonction de compte des nombres premiers
Elle est caractérisée par la fonction qui est la quantité de nombres premiers jusqu'à n.
Ex: Il y a 1 229 nombres premiers < 10 000. On écrit: ;)( 10 000 ) = 1 229.
En réalité, quand n vaut p, alors la position de p dans l’ensemble des nombres premiers P est trouvé. ;)(p) = position de p dans P.

Ex: Position de 9 973 dans P : ;)( 9 973 ) = 1 229
le 1 229ème nombre premier vaut 9 973. On écrit : ;);)¹ ( 1 229 ) = 9 973

La fonction ;)(n) est et restera toujours une fonction croissante en escalier. Lorsque n devient très « grand », son comportement peut l’assimiler à une fonction logarithmique. Mais à l’heure actuelle, il n’existe que des formules mathématiques approchées donnant ;)(n). Et pour cause, une fonction en escalier n’est pas une fonction logarithmique. L’effort actuel est donc porté sur la détermination de l’erreur commise.



Les autres fonctions ;)

On note ;);) la fonction de compte des nombres premiers jumeaux
;);) la fonction de compte des nombres premiers cousins
;);) la fonction de compte des nombres premiers sexy etc

On note ;)_(a,b) la fonction de compte des nombres premiers qui vérifie : a.k+b = p

[monoxyde76]

La des compositions de ;)

;)(p) , pour p premier, est la fonction qui donne la position de p dans P. Celle-ci a été déterminée après moult recensement. S’il n’existe pas une formule véritable qui donnerait complètement tous les p, peut-il exister au moins quelques formules qui donneraient les n premiers p ? Ou peut-on quantifier avec quelques formules déterminées le pourcentage de p trouvés ?

Tous les nombres premiers réunis de Mersenne, de Sophie Germain, de Woodall , de Woodall généralisé, de Fermat, etc. ne suffiraient pas à donner tous les p contenus dans ;)(p)

Je pense alors que ;)(p) doit être considérée comme la résultante d’une somme de petits ;)(p).
A l’instar de la lumière qui est la décomposition d’une multitude d’ondes lumineuses, ou le son d’une multitude d’ondes sonores, ou le signal ‘créneau’ la somme de plusieurs fonctions sinus, la fonction ;)(p) doit pouvoir se décomposer en une multitude de fonctions ;)(p).

Mais quelles seraient les formules des petits ;)(p). Une formule propre et indépendante pour chaque ;)(p) ou une formule commune indicée ?

Ecrire : ;)_2 (p) ;) ;)_4 (p) ;) ;)_6(p) ;)… ;) ;) ;);)_2n (p) ;) ;)(p) peut paraître une bonne approche. Encore faudrait-il démontrer la conjecture de Goldbach qui prétend que tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers.
Somme ou différence ? Cela n’a pas d’importance, c’est exactement la même chose.

[monoxyde76]

Rappel sur les 'premiers' chanceux d’Euler
le polynôme n² + n + p donne des nombres premiers pour : n allant de 0 à p-1
et p ;) { 2, 5, 11, 17, 41 }

Au-delà de n= p-1 ou des 5 premiers énumérés, l’apparition d’un nombre premier est jugée fantaisiste et n’a guère suscité d’intérêt.

Au delà des ‘premiers’ chanceux d’Euler
En réalité, dire qu’en dehors des nombres chanceux d’Euler, il n’y a pas d’apparition déterministe des autres nombres premiers est une erreur. Il y a confusion entre la constatation dans certains cas, de la sortie successive de plusieurs premiers et l’incompréhension de la sortie ‘hasardeuse’ de la quasi-totalité des autres premiers.
Il n’y a pas de chance à ce qu’il y ait par moment l’apparition d’un bloc de premiers par rapport à l’immense disparité des autres sorties.
Tout est déterminable, quantifiable et donc obéit à un ordre donné.
Voici de quelle manière cet ordre peut être abordé.
Nous allons nous occuper d’une manière plus approfondie des polynômes de la forme générale : n² + n + p ;) n ;) N et ;) p ;) P
Tout p par la formule polynomiale n² + n + p génère des premiers et des non premiers qui peuvent être considérés comme des rebuts puisque notre objectif est de distinguer les premiers.
Par simplification ou abus de langage, je dis que p a pour générateur de nombres premiers Gp ( de formule n² + n + p ).
Tout p possède son propre filtre Fp qui permet d’éliminer les rebuts, c'est-à-dire d’exclure les nombres non premiers.
A la sortie du filtre de p , les nombres premiers générés par p sont récoltés et alimentent la propre fonction de compte de p : ;)_p ou Pi p – sur le schéma.
Chaque ;)_p alimente la fonction de compte principale ou mère qui est : ;)_ ou Pi – sur le schéma.

DESOLE SCHEMA NON TRANSFERABLE

L’avantage de parler de générateur, permet au sein de p d’étudier son rendement dynamique (càd en fonction de la progression de n) et permet au sein des autres p de comparer son rendement statique pour un n arrêté.
Le rendement se définit par ;) = Nb p produits / n

Etudier la production de premiers par p – avec n² + n + p, permet de comprendre la distribution des premiers dans ;)_p et après coup dans ;)_ .
Il vient :
;)_1 (p) ;) ;)_3 (p) ;) ;)_7(p) ;)… ;) ;) ;);)_q (p) ;) ;)(p)

Un certain nombre de propriétés peuvent déjà être déduites ..................

A SUIVRE

[nodjim]

La fonction n²+n+p génère des nombres premiers.
Soit pk un nb premier qui apparait au rang k pour la 1ere fois dans la liste lue selon les n croissants.
pk apparaitra alors dans la décomposition des n²+n+p aux rangs: k+mpk et mpk-k-1. pour tout m de N.
Ce serait déja très bien de pouvoir démontrer que l'ensemble des nb premiers générés par un p donné soit infini...

[monoxyde76]

La fonction n²+n+p génère des nombres premiers.
Soit pk un nb premier qui apparait au rang k pour la 1ere fois dans la liste lue selon les n croissants.
pk apparaitra alors dans la décomposition des n²+n+p aux rangs: k+mpk et mpk-k-1. pour tout m de N.
Ce serait déja très bien de pouvoir démontrer que l'ensemble des nb premiers générés par un p donné soit infini...

je n aime pas trop cette notion d'infini, c'est un mot un peu fourre tout ou passe partout, de quel infini parle-t-on ? de quelle dimension ? un petit infini ou un gros INFINI, infini par rapport à qui ou à quoi ?

je dirai pour être plus précis sur cette notion d'infini , p par n*n + n + p alimente sa propre fonction de compte. Celle-ci est incluse, est une composante de la fonction de compte principale (n) .

Ce serait un abus de langage de dire que p par n*n + n + p donne des premiers à l'infini. Car jamais p par n*n +n + p ne pourra donner tous les premiers de [FONT=Century Gothic]P[/FONT], ensemble des premiers. Au mieux je dirai que son infini est une partie de l'infini de [FONT=Century Gothic]P[/FONT] ou sublime hérésie que p par n*n + n + p fournit un QUOTA de l'infini de [FONT=Century Gothic]P[/FONT]. Ce serait plutôt cela qu'il faudrait démontrer.

[nodjim]

Si tu veux.
Cela nous éloigne de ta démo qui pour l'instant n'est pas écrite. Il est à noter que tes 3 premiers messages n'apportent rien. Et le début du 4ème non plus.
Ecris ta démo en un seul tenant, ce sera plus convivial.

[fma]

Bonsoir, Monoxyde, tu écris

Les nombres chanceux d’Euler
Leonhard Euler découvre en 1774 des polynômes de la forme n² + n + 17 puis de la forme n² + n + 41 qui donnent des p pour n allant de 0 à p;)- 1 avec p;) égal à 17 ou 41. Par la suite, on appellera nombre chanceux d’Euler tout entier vérifiant : x [ 0 – n-1 ] x² - x + n = p
Il est démontré qu’il n’en existe pas d’autres que 2, 5, 11, 17, 41.
En réalité, pour tout n impair, ce genre de polynôme pourra donner des p mais avec un rendement plus ou moins important. Ainsi le polynôme n² - n + 41 donne 47.5% de p pour n allant jusqu’à 10*10;). Ulam trouva des polynômes avec des taux en pourcentage aussi bon que ceux d’Euler.
Observation : En réalité, les polynômes x² - x + n = p et les polynômes x² + x + n = p sont une et une seule même écriture.

Ecrivons x² - x + n = p ainsi : x² - x-m=0

Solutions, ici

Pour m=2, la solution positive est x=2
Pour m=2+4, la solution positive est x=3
Pour m=2+4+6, la solution positive est x=4
Pour m=2+4+6+8, la solution positive est x=5
Pour m=2+4+6+8+10, la solution positive est x=6
Pour m=2+4+6+8+10+12, la solution positive est x=7
etc...

ne semble pas satisfaire que des nombres premiers, mais au moins tous les naturels >0

Par analogie, mais mon raisonnement est peut-être inexact, que pourrait-on attendre, pour les nombres premiers, de ce genre de relation puisqu'il n'y a aucun tri ?

[monoxyde76]

[
Ecrivons x² - x + n = p ainsi : x² - x-m=0

Pour m=2, la solution positive est x=2
Pour m=2+4, la solution positive est x=3
Pour m=2+4+6, la solution positive est x=4
Pour m=2+4+6+8, la solution positive est x=5
Pour m=2+4+6+8+10, la solution positive est x=6
Pour m=2+4+6+8+10+12, la solution positive est x=7
etc...

ne semble pas satisfaire que des nombres premiers, mais au moins tous les naturels >0

Par analogie, mais mon raisonnement est peut-être inexact, que pourrait-on attendre, pour les nombres premiers, de ce genre de relation puisqu'il n'y a aucun tri ?[/quote]

bonsoir FMA, je rentre du w e , j ai pris du retard dans la continuation de ma ' démonstration ' ; je dois repréciser certaines choses par rapport aux remarques de nodjim. Je sollicite votre indulgence... C'est l'été tout de même...

déja ta formule je l'écrirai différemment : x² - x + n = p devient x² - x + p = n , car c est p qui est fixé, x est balayé et donne n qui est un entier.
dans mon cas, une formule liée à p permet de faire le tri parmi les n formés entre les composés et les premiers

du coup ton m = n - p devient en réalité m = p - n . je ne sais pas si tes racines sont encore valables . Par ton m je perd de vue p , je ne suis donc pas étonné de ne pas retrouver de premiers.
de plus m est autant pair qu impair. Dans ton cas tu ramènes m a la somme des nombres pairs ( n² + n - tiens tiens cette écriture me parle ) pour obtenir des racines particulières.

ce n'est pas en cherchant les racines d'une équation parabolique que l on procéde au tri.
Par x² - x, p produit des n, une autre fonction, lié à p, permet de faire le tri entre les n produits ( par p );
on peut dire que les premiers produits et triés - donc générés - par p forment un sous ensemble de l'ensemble des nombres premiers. Chaque p a son ensemble inclus dans l'ensemble des premiers.... De plus chaque premier généré P est généré par plusieurs p, ce qui est remarquable. Ca fait partie de la suite que je dois poster

étudier x² - x + p ou x² + x + p revient à étudier la même chose; si x = -x alors l une devient l autre. Il vient alors, dans n² + n + p = P, + est une somme algébrique ( addition ou soustraction ), n est un entier relatif. Bests Regards

[fma]

"Il existe des formules qui donnent tous les nombres premiers"

http://www.cnrs.fr/Cnrspresse/math2000/pdf/Maths10.pdf

[monoxyde76]

"Il existe des formules qui donnent tous les nombres premiers"

http://www.cnrs.fr/Cnrspresse/math2000/pdf/Maths10.pdf

hello fma , oui j'ai cet article dans mes archives.
La dernière formule - est ce une variante de Minac -j arrive pas à avoir plus de références. D un premier coup d œil, dire qu'il y a beaucoup de 2 trouvés en plus des nombres premiers semble atténuer cette formule.
Pourtant , il suffit déjà d'éliminer les n pairs et le nombre de 2 apparaissant diminue car t(2n) = 2 ; il suffit d aller plus loin et de recenser les cas ou t(2n+1) = 2... Donc au lieu de parler de tous les n , il fallait aller directement au cas ou n est impair...

Bien à toi

[Sylviel]

Bon au final tout ce que tu as dis pour le moment c'est : soit p premier alors l'ensemble
{n²+n+p|n\in N} comprends des nombres premiers et d'autres composé. Pour l'instant c'est une totologie...

[nodjim]

Tautologie, plutôt, je crois.
Mais oui,, pour l'instant, on n'a rien de rien.

[fma]

hello fma , oui j'ai cet article dans mes archives.
La dernière formule - est ce une variante de Minac -j arrive pas à avoir plus de références.

Il me semble a voir lu, ici et là, que ces relations sont expliquées dans le livre de
Jean-Paul Delahaye aux alentours de la page 32 : "Merveilleux nombres premiers"

Pour le reste, je te laisse chercher.
Tiens, un joli crible mis en animation par cette géniale thérèse Eveilleau

http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/crible_russe.htm

[nodjim]

Je pensais que ce crible était dû à Mathiassevitch (excuses pour l'orthographe du nom.

[Sylviel]

Je couvre mon erreur en fournissant une définition de totologie :
une affirmation fourni par toto :D

[Basse789]

slt Monoxyde,
Ton approche m'intéresse.
Comment as tu donc défini tes filtres Fp pour chacun des générateurs Gp ?
Qu'en est-il du tableau des données (que j'imagine tu as dû récolter) de la fonction rendement (p, n) ?

Pour ma part, je creuse le sujet de mon côté et je peux te dire que ce que tu as écrit est vrai :

Je pense alors que (p) doit être considérée comme la résultante d’une somme de petits (p).
A l’instar de la lumière qui est la décomposition d’une multitude d’ondes lumineuses, ou le son d’une multitude d’ondes sonores, ou le signal ‘créneau’ la somme de plusieurs fonctions sinus, la fonction (p) doit pouvoir se décomposer en une multitude de fonctions (p).


Je pourrais te montrer mon approche ensuite, mais avant, nous t'attendons !

[monoxyde76]

Bon au final tout ce que tu as dis pour le moment c'est : soit p premier alors l'ensemble {n²+n+p|n\in N} comprends des nombres premiers et d'autres composé. Pour l'instant c'est une totologie...

Hello, bonjour à tous

A force de vouloir présenter une démonstration tip top je me perd dans mes phrases et par ailleurs je découvre d'autres notions que je n avais pas vu au préalable. Tant pis, cela a trop durer. J ai essayé de repreciser certaines affirmations en tenant compte des commentaires. Sans doute il y aura des redits et des oublis. Mais je suis sûr que je tiens un mécanisme opérationnel. Bonne lecture...

La somme d’une fonction paire avec un nombre premier implicitement impair, donne systématiquement un nombre impair soit n²+n+p = I . Plus précisément selon certaines valeurs de n – noté np – la somme donnera un nombre premier P soit np² + np + p = P ; selon d’autres valeurs de n – noté nc – la somme donnera un nombre non premier ou nombre composé C soit nc² + nc + p = C.
Il vient P;);) (np,p) / np;)^2+np+p=P ou bien son pendant
C;)(J;);)) (nc,p) / nc;)^2+nc+p=C
C’est reléguer à un épiphénomène les nombres chanceux d’Euler.

Donc p par n²+n va créer des nombres premiers P;),P;),P;),P;), etc. Son quota de premiers grandira avec la valeur de n.
= {np²+np+1};){np²+np+3};){np²+np+5};){np²+np+7};)…;){np²+np+p};)…

Pour np=0 on trouve = {1} U {3} U {5} U {7} U ... U {p} U ... soit l’ensemble des premiers impairs. Même si np=0 serait solution unique, la formulation
P;);) (np,p) / np;)^2+np+p=P restera vraie

Or non seulement p produit en quantité non fini des premiers P, mais P peut-être produit par plusieurs p. Chaque P connait alors sa partition de couple (np,p) avec p = P - np² -np

Ex1 : P=229
(0,229) ; (1,227) ; (2,223) ; (5,199) ; (7,173) ; (8,157) ; (9,139) ; (11,97) ; (12,73) ; (13,47) ; (14,19)

Ex2 : P=541
(0,541) ; (4,521) ; (6,499) ; (10,431) ; (11,409) ; (13,359) ; (14,331) ; (16,269) ; (18,199) ; (21,79)

donc : p ne sera jamais supérieur à P
donc : P;)P (n;),p;));)N*P P=n;)²+n;)+p;) et P;)P (n;),p;));)N*P P=n;)²+n;)+p;)
d’où p = p;)- p;)= ( n;)- n;))( n;)+ n;)+ 1 )
RQ. : On retrouve pour n;) = 0 p = p;)- p;)= P -p;) = n;)( n;)+ 1 )

Sur un tableau Excel, l’abscisse positive dirigée vers la droite, trace les p tandis que l’ordonnée positive dirigée vers le bas trace les n. L’abscisse négative dirigée vers la gauche trace les –p tandis que l’ordonnée négative dirigée vers le haut trace les –n.

Nous obtenons ainsi 4 zones où l’équation va donner ses 4 écritures possibles
1/ zone droite basse : P = n² + n + p
2/ zone gauche basse : P = n² + n - p
3/ zone gauche haute : P = n² - n - p
4/ zone droite haute : P = n² - n + p
Chaque cellule contient la formule P = n²+n+p.

Choisissez une valeur de P et recherchez son apparition dans le tableau ainsi créé : la multitude de P vous apparaîtra alors dans toute son étendue.
P se produit en quantité non fini dans tout l’espace [-p,-n,n ,p] et non pas exclusivement dans l’espace [n ,p] . Il forme une courbe à points, d’allure parabolique comme la fonction/souche n²+n, croissante vers l’axe -p , et nulle en p.
L’ordonnée –n est le miroir de l’ordonnée n car f(-n) = f(n – 1). Dorénavant on pourra se contenter de travailler sur l’espace [-p,n ,p], puisque sur –n on obtiendra les mêmes P qu’en n absolue.
En résumé : P;)P n² n p = P avec : + ou -

Dans le tableau Excel, chaque colonne p produit son lot de premiers et de composés, éléments déjà existants dans l’ensemble des impairs J, avec une signature ou un spectre d’apparition propre.
Chaque élément p de P produit un sous-ensemble de J mais ipso facto également un sous-ensemble de P. C’est comme si une fonction – ici n²+n – par p, réorganisait la distribution des premiers de P en une p collection de nombres premiers.

Une autre propriété remarquable est décelable : le nombre de collections q pour déterminer un nombre continu k de premiers sera toujours inférieur à la nième position du dernier premier trouvé dans .

Ex : avec p= { n²+n + p } ensemble de fonction de compte des nombres premiers par p

1 donné par ;) ; 3 donné par ;) ; 5 donné par ;) ; 7 donné par ;) ; 11 donné par ;) ;
13 donné par ;) ; 17 donné par ;) ; 19 donné par ;) ; 23 donné par ;) ; 29 donné par ;);) ;
31 donné par ;) ; 37 donné par ;) ; 41 donné par ;);) ; 43 donné par ;) ; 47 donné par ;)

Pour déterminer les k premiers nombres premiers dans , il faut q collections de p par n²+n
avec k qui sera toujours supérieur ou exceptionnellement égal à q.

pour k = 1 q = 1 ; pour k = 2 q = 1 ; pour k = 3 q = 2 ; pour k = 4 q = 2 ; pour k = 5 q = 3 ; pour k = 6 q = 3 ; pour k = 7 q = 3 ; pour k = 8 q = 4 ; pour k = 9 q = 4 ; pour k = 10 q = 7 ; pour k = 11 q = 7 ;pour k = 12 q = 7 ; pour k = 13 q = 7 ;pour k = 14 q = 7 ; pour k = 15 q = 7 ;

Explication : Pour déterminer les k premiers nombres premiers dans l'ensemble des premiers P, seuls q collections sont nécessaires ; c.à.d. seuls les q premiers nombres premiers de P par n²+n sont à connaître.

La valeur du nombre q de collection IpI se réduit d’autant plus que les premiers de _-p sont comptabilisés avec ceux de _p. IpI (en valeur absolu) intégrera la collection de +p et la collection de –p.
Pour progresser dans le recensement contigu des k premiers, q augmentera mais ne dépassera jamais la valeur de k.

Il n’y a rien d’exceptionnel en cela. Un rameau sur une souche donnera toujours des ramifications. La souche c’est la fonction – ici n² + n, le rameau c’est p , les ramifications les P produits et triés par rapport aux non premiers. Le rameau pourrait être les d soit les dizaines, les ramifications les D dizaines produits par chaque d (n² + n + 10 ; n² + n + 20 ; n² + n +30 ; etc ). Le rameau pourrait être les multiples d’un premier, etc (n² + n + 3 ; n² + n + 6 ; n² + n + 9 ; etc ). Mais pour ces cas là, le tri est pour le cerveau facilement opérable.
Mais par ailleurs, n² + n, n'est pas l'unique fonction permettant le recensement des premiers. Cela marche pour 3n² + 3n ou tout k(n² + n). Les filtres sont plus élaborés mais ils existent et ils fonctionnent (deux filtres pour 3n² + 3n + 5 viennent dêtre identifié, par ex y=Ax²+Bx+C).
Il m'a été difficile d'admettre cette extension. Je pensais que la 'filtration' n'était possible qu'avec n² + n. Il n'en est rien... Il faut prendre conscience que les collections élaborées à partir de fonctions plurielles sont gouvernées par les mêmes principes.
La souche doit être une fonction continue, croissante dans Z, paire? et important avoir un point zéro . ( sinon impossible de trouver en singletons tous les éléments de l'ensemble des premiers de P )La saveur de p est recherchée parmi tous les nombres produits par la fonction f(n) + p. Cela revient à filtrer les nombres produits par f(n) + p qui ont la même saveur que p.



Conclusion : (ce que je n ai jamais lu dans la littérature )

p est dans Z

= _1 (p) _3 (p) _5(p) … _q (p) …

La fonction de compte des nombres premiers est déclinable en une collection de fonction de compte de nombres premiers recensés dans n² + n + p.
Il n’y a besoin que de q collections pour déterminer les k premiers premiers contigus.
Chaque collection constitue une fonction de compte fille par rapport à la fonction de compte mère qui est . C’est un échantillon représentatif de la distribution des premiers dans P. Les propriétés et les conjectures qui seront découvertes dans une collection seront reportables dans d’autres collections du fait du lien de ‘parenté’.
Chaque p par n² + n , collectionne des premiers de l'ensemble des premiers P. Cela d’une manière déterminée et ordonnée. Il n’y a pas de hasard ni de chaos. Les nombres premiers ne jouent pas aux dés.Ils aiment les cycles, les séquences et les séries...

Je préciserai pour les premiers de quelle manière le tri s’effectue, en réponse à Basse789 notamment. Bien à vous

[nodjim]

Dès le début je relève des affirmations osées.
Tu écris que n²+n+p=I. C'est vrai, sauf pour p=2. Mais bon, ça c'est pas grave.

Tu écris aussi que pour n²+n+p, le quota des nombres premiers augmente avec n. En core faut il prouver, comme je l'ai déja fait observer plus tôt, que les nombres premiers sont en quantité illimitée dans cette expression pour un p donné.

Pour l'instant, je ne peux donc continuer dans la lecture.