Polynôme

[Mhdi]

Salut à tous,

Pour me faire pardonner le topic 5 équations ( :langue2: ), je poste cet exercice :

Soit P(x) un polynôme à coefficients positifs. Montrer que si la relation est valable pour x=1, elle l'est aussi pour x>0

J'ai trouvé l'exercice très intéressant, et j'ai une solution particulièrement élégante(je trouve ^^) mais qui n'est pas de moi.

@+

[lapras]

Salut,
je suis peut etre a coté de la plaque, mais :
posons

Je dois partir étudier le grec, je finirai ma démo ce soir :happy2:

[ThSQ]

M'semble que c'est du Cauchy-Schwarz.

[Mhdi]

@ThSQ : Impressionnant. :++: Tu l'avais déjà vu?

[leon1789]

Salut,
je suis peut etre a coté de la plaque, mais :
posons
supposons qu'il existe a>0 tel que

Pourquoi toujours chercher à prouver qu'un truc est faux ? ... c'est par esprit de contradiction ?

Montrons un truc vrai (c'est davantage "optimiste" :id: ) :
sur la fonction g admet un seul extrémum (calcul de dérivée par exemple) : c'est en 1, et c'est le minimum de g, d'où le résultat .

[leon1789]

Salut,
je suis peut etre a coté de la plaque, mais :
posons
supposons qu'il existe a>0 tel que

Pourquoi toujours chercher à prouver qu'un truc est faux ? :ptdr:



J'aurais tendance à dire :
sur la fonction g admet un seul extrémum (*), qui est en 1, c'est le minimum de g, d'où le résultat .

(*)par exemple, où Q est un polynôme à coefficients positifs.

[lapras]

Voila la fin de ma démo :

soit
On écrit :

avec
On sait aussi que (hypothese) donc

On utilise alors cauchy sur et on montre que sur ,
donc
d'où le résultat

[ThSQ]

Tu l'avais déjà vu?

Peut-être bien mais je me souviens pas de tous les exos que j'ai faits (surtout les inegs où je suis mauvais) !

[Mhdi]

La solution :
On pose

D'autre part :


.
.
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