Polynôme et indices

par **Nightmare** » 08 Déc 2010, 13:35

Changement de signe entre eux, ou autrement dit le nombre de changement de signe dans la suite (finie) (ai).

par **benekire2** » 08 Déc 2010, 13:40

D'accord merci. . .

Enfin j ai commence a ecrire des choses mais ca mene a rien, comment est-ce que je dois m'y prendre pour compter ces changements de signe?

merci ;-)

par **Nightmare** » 08 Déc 2010, 13:46

Essaye de conjecturer le résultat sur des exemples, ensuite, récurrence...

par **benekire2** » 08 Déc 2010, 15:53

Mais on suppose quand meme les coefs reels.et.je vois pas pourquoi ils le seraient.

par **Nightmare** » 08 Déc 2010, 16:18

Salut !

Alors plusieurs remarques :

1) Correction de mon indice : ce n'est pas à card(I) qu'il faut comparer le nombre de changement de signe mais à card{x > 0, P(x)=0}

2)Si le résultat est vrai pour des coefs réels, il l'est pour des coefs complexes, on considérant la partie réelle et la partie imaginaire des (ai).

Edit : 2) n'est pas vraiment ce que je voulais dire, en fait, on ne prouve pas que c'est vrai dans le cas réel. On a juste à prouver que si les coefs sont réels, alors ce qu'on va trouver en 1) est vrai et alors, notre résultat le sera en considérant Re(ai) et Im(ai).

Je n'ai pas trouvé de méthode "à la main" pour montrer 1) et ça m'énerve un peu... Une récurrence sur Card(I) (c'est le bon cette fois ci) fonctionne.

par **benekire2** » 08 Déc 2010, 17:16

D'accord, merci bien ; je vais voir ce que je peut en tirer ... Je vais surtout essayer des exemples parce que j'en manque cruellement

Je te dirais ce qu'il en retourne !

par **benekire2** » 08 Déc 2010, 17:49

Bon, malgré toutes ces aides, je ne parviens pas a avoir une vision clair du problème.

J4ai tenté l'initialisation de la récurrence, don avec |I|=1 il n'y a pas de changement de signes des a_i et card{x>0 , P(x)=0 }=1 ; par contre pour l'hérédité , aucune inspiration : Je vois pas comment ce qu'on sait va nous informer sur le changement de signe des coefficients , et même une fois achevé ça , j'ai du mal a saisir le lien avec le nombre de racines positives et le signe des coefficients ; j'ai bien essayé de voir cela sur les relations de viète mais rien .
En définitive, le problème est surement trop dûr pour moi, je n'ai jamais avancé.

par **Nightmare** » 08 Déc 2010, 19:57

Alors déjà, on fait une récurrence, ok, mais quelle est l'hypothèse de récurrence? Il serait bien de la préciser :lol3:

par **benekire2** » 08 Déc 2010, 20:08

Nightmare a écrit:Alors déjà, on fait une récurrence, ok, mais quelle est l'hypothèse de récurrence? Il serait bien de la préciser :lol3:

Bah justement , c'est là le problème, comme je semble pas comprendre la finalité du truc je ne peut pas trop connaître l'hypothèse de récurrence qui d'après l cas n=1 est "le nombre de changement de signe des indices vaut Card{x>0 P(x)=0} -1 "

par **Nightmare** » 08 Déc 2010, 20:10

Et pour n=2 ? n=3 ?

Tu devrais arriver à conjecturer assez rapidement que le nombre de changement de signe majore toujours le nombre de racines positives.

par **benekire2** » 08 Déc 2010, 22:08

Alors je suis de retour, et sans idées aussi :ptdr:

Pour le cas n=2 Les deux coefficients sont forcément de signe contraire ,et donc on a "nombre de changement de signe des coefficient" =

Pour n=3 les coefficients changent au moins une fois de signe et là encore c'est la même conclusion que pour n=2 et donc je crois ( mais pas sûr ) que tu t'es planté en disant que le nombre de changements de signe des coefficients majore ( je pense que c'est minore ) toujours le nombre de racines positives .

Et pour l'hérédité ? ( désolé , je vois rien .. )

Merci !

par **Nightmare** » 09 Déc 2010, 20:36

Désolé, j'avais oublié ce topic avec mes révisions. Où en es-tu ?

par **benekire2** » 09 Déc 2010, 20:48

Ben, tout est dit dans mon message précédent, c'est exactement là que j'en suis ( j'ai fais un autre exo ou deux entre temps ) et je crois que je donne ma langue au chat . . . :hein:

par **Nightmare** » 09 Déc 2010, 20:52

Bon alors nouvel indice :

Pour l'hérédité, penser à factoriser par le terme dominant.

par **benekire2** » 09 Déc 2010, 21:21

Merci , mais j'arrive pas a utiliser l'hypothèse de récurrence ,

Sinon, puis je avoir confirmation qu'il faut bien montrer que "le nombre de changement de signe majore toujours le nombre de racines positives." ? Merci !

par **Imod** » 09 Déc 2010, 23:12

A comparer à un problème ( bien plus facile ) du site Diophante , il me semble qu'ici Vandermonde suffit .

Imod

par **Ben314** » 09 Déc 2010, 23:28

Bon, j'ai pas franchement cherché, mais, le fait que Imod parle de Vandermonde me fait penser que, concernant le fait que les ai soient réels ou complexes ou ..., on peut quand même dire que l'énoncé correspond à la résolution d'un système linéaire homogène dont les coeff sont les i^j avec i,j dans I (donc entier) et cela prouve que, s'il y a des solutions (pour les ai) dans C alors il y a aussi des solutions ou les ai sont dans Z.

par **Imod** » 09 Déc 2010, 23:39

Je parlais du problème du site Diophante qui c'est apparemment inspiré du problème de Nightmare ( ou le contraire ) . Celui de Nightmare est plus compliqué :doh:

Imod

par **Nightmare** » 10 Déc 2010, 00:58

Posé aux oraux des ENS :happy3:

par **benekire2** » 10 Déc 2010, 08:20

Donc pas étonant que je ne voie rien...
Quelqu'un propose une mini correction ou d'autres veulent chercher? (en ce qui me concerne j'arrète ça sert a rien.)

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