Joujou avec un polynôme ...

[ThSQ]

C'est un très très joli problème Dominique. Origine ?

1- Idée directrice : si n est impair ne dépend plus de a_n (n < 10 ici oeuf corse)

2- On peut se ramener à ce que les 2 derniers coefficients à choisir se rapportent à des degrés impairs

En effet

Si c'est le deuxième joueur qui renseigne le dernier coefficient des degrés pairs il peut le choisir de façon à ce que (auquel cas P prend des valeurs négatives s'annule).
Le deuxème joueur peut donc forcer le premier à renseigner tous les coefficients des degrés pairs avant le dernier round.

(en fait un seul degré impair suffit à conclure mais bon ...)

3- à l'avant dernier coup et c'est au 2ème joueur de jouer.

Q(x) est connu, m et n sont impairs et différents.

On choisit tel que (on vérifie que c'est possible car ).

Peu importe comment le premier joueur choisit a_m on aura toujours .

Alors ou bien et c'est gagné ou bien et c'est à nouveau gagné par continuité de P.

[Imod]

C'est un très très joli problème Dominique. Origine ?

J'ai depuis très longtemps l'habitude de recopier les problèmes que je trouve intéressants mais pas celle de recopier les sources :marteau:

J'ai procédé comme toi à quelques détails près . Comme tu le fais remarquer il suffit que l'un des deux derniers indices soit impair ( inutile de distinguer le cas ou l'un des deux est pair ) . On peut aussi considérer -2 au lieu de -1/2 pour éviter les fractions , mais bon l'idée est là :++:

Assez surprenant en effet que le 2ème joueur qui ne choisit ni le premier ni le dernier coefficient puisse forcer une racine réelle !!!

Imod

[ThSQ]

Ca doit pas être un OIM, trop joli :bad:

Un très joli aussi je trouve (vu sur un autre forum) :

Existe-il une suite réelle tq soit simplement scindé dans IR pour tout n > 0 ?

[lapras]

Bonsoir,
scindé ?
:we:

[Imod]

n racines simples dans .

Imod

[ThSQ]

Oui pardon pour le jargon et merci à Imod.

[Imod]

J'ai essayé ( sans succès ) du côté des séries entières , je suis presque sûr que c'est impossible , mais bon les conjectures , on sait ce que ça vaut !

Je ne lache pas :hum:

Imod

[ffpower]

A mon avis ca marche en prenant a_n suffisament petit a chaque etape,mais pour moi aussi ca reste conjectural^^.
Ps:je suppose que les a_n sont imposés non nuls?

[ThSQ]

A mon avis ca marche en prenant a_n suffisament petit a chaque etape,mais pour moi aussi ca reste conjectural^^.
Ps:je suppose que les a_n sont imposés non nuls?

Oui ça marche et oui il faut que les a_n soient non nuls.

[ffpower]

Ok,supposons avoir reussi a construire P_n,et prenons a_{n+1} petit.J ai envie de dire qu alors P_{n+1} a n racines distinctes par "continuité" des racines.Seulement la version de continuité des racines que je connais est dans C a coeff dominant fixé lol,mais graphiquement je dirais que ca marche^^
Bon admettons pour le moment sinon.la n+1 eme racine de P_{n+1} est forcement reelle puisque toutes les autres le sont.Faut il encore prouver maintenant que cette racine n est pas confondue avec une autre.Mais si x racine de P_n,on a P_n'(x) non nul,et P_{n+1}'(x) sera non nul si a_{n+1} assez petit,donc P_{n+1} n a pas de racines doubles si a_{n+1} suffisament petit.Reste mon point obscur du debut auquel je vais reflechir,mais sinon,je pense que ca marche

[Imod]

Je crois que j'ai la solution :we:

Supposons construit pour n donné , on peut prendre par exemple pour commencer et montrons que l'on peut construire de degré n+1 avec les mêmes n premiers coefficients que et ayant n+1 racines réelles distinctes .
Notons , , ..., les racines de rangées en ordre croissant , on peut choisir n+1 réels , , ... , tels que : . Vu la forme de il change de signe entre chacune de ses racines donc , , ... , ont des signes alternativement positifs et négatifs ( non nuls ) et on peut choisir et pour que cette alternance soit conservée . En choisissant suffisamment petit , on peut avoir pour tout i , du même signe que c'est à dire alternativement positifs et négatifs quand i varie . On peut maintenant considérer le théorème des valeurs intermédiaires nous dit que s'annule n fois entre et . Pour conclure il reste à remarquer qu'en , et ont une de leurs limites qui n'est pas du même signe pour conclure :we:

Imod