Polynôme entier avec racine entière ?

[Imod]

Un problème distrayant ( pas de grosse astuce ni calculs infâmes ) .

Existe-t-il un polynôme à coefficients entiers avec au moins une racine entière et tel que : ?

Amusez-vous bien !

Imod

[guillaumeL]

(x-2)(x+2)(x+1)(x+1/2)+2 convient par exemple!

[Anonyme]

Ça m'a tout l'air d'être une droite ton P, avec un coefficient de y=2 :marteau:

[Zweig]

Salut,

J'ai montré qu'il n'existait pas de tels polynômes. JJe dois aller me coucher (ordre de ma mère), donc je marque les grandes lignes:

D'après les relations, on a P(x) = (x + 2)(x - 2)(x + 1)*Q(x) + 2 avec Q(x) un polynome à coeff entiers. Comme P s'annule au moins une fois, il existe un entier r tel que P(r) = 0 i.e, (r + 2)(r - 2)(r + 1)*Q(x) = -2, en particulier

(r + 2)(r - 2)(r + 1) = -2, 2, -1 ou 1

On montre facilement que cette équation n'admet aucune solution dans Z.

Edit : Grillé ...

[Imod]

Bravo à tous les deux et tant pis pour les "couche-tôt" :dodo:

Imod