Polynome et équation fonctionnelle

[lapras]

Bonsoir,
deux exercices plutôt hard...
1)
soient P(x) et Q(x) des polynomes a coefficients réels, tels que
P(Q(x)) = Q(P(x))
On suppose que P(x) = Q(x) n'a pas de solution
Montrer que P(P(x)) = Q(Q(x)) n'a pas de solution.

2)
Trouver toutes les fonctions
f : IR -> IR telles que :
f(f(x-y)) = f(x) - f(y)

Pour ceux qui se demandent : non on a pas d'autre hypothese telle que la surjectivité , l'injectivité, la continuité...
C'est ce qui la rend tres difficile.

Bon courage

[ffpower]

Pour la question 2,t es sur que f n est pas continue ou un truc comme ca lol?Je fais mon lourd,mais j ai l impression que sinon ya des solutions non triviales sinon:
Par ex,on prend {ei,i appartient a R} une base de R comme Q espace vectoriel avec e0=1.On définit par Q linéarité en posant f(e0)=1,f(ei)=0.Alors f est additive par definition f(R)=Q et f=id sur Q,donc en particulier fof=f et donc f verifie l equation demandée..

[lapras]

Oui f n'est pas continue sinon l'équation fonctionnelle est triviale...

Effectivement on peut construire des fonctions qui vérifie cette équation fonctionnelle mais qui ne vérifient pas f(x)=0 <=> x=0
Il parait qu'on doit admettre l'axiome du choix...

[ffpower]

Ah ouais,c est méchant ché pas trop comment on est censé les caractériser(car elles sont pas vraiment exprimable ces fonctions).Si on dit que c est les fonctions Q linéaires involutives,ca suffit?

[aviateurpilot]

si
alors
de meme si

[lapras]

Bravo aviateurpilote c'est exactement ca !
:happy2:
ffpower > je n'ai pas compris grand chose a ton exemple, mais oui tu as raison on peut construire des fonctions tordues qui sont solutions.

[lapras]

Tres jolie équation fonctionnelle :
pour tout p premier, pour tout n entier relatif
f(n)^p = n (mod f(p))
Trouver toutes les f qui vérifient cette condition.

[aviateurpilot]

tu es sure que c'est et non ??


donc
d'ou

[lapras]

Oui je suis sur
mais tu as sauté beaucoup d'étapes !
p divise f(n)-n d'apres fermat ok
Mais ca n'implique pas directement que f(n) = n
d'ailleurs il y a une infinité de solutions a cette équation

[aviateurpilot]

Oui je suis sur
mais tu as sauté beaucoup d'étapes !
p divise f(n)-n d'apres fermat ok
Mais ca n'implique pas directement que f(n) = n
d'ailleurs il y a une infinité de solutions a cette équation

lol, px etre
mais jcroi que est divisible par tout les nombre premier non?

[lapras]

Oui f(n) - n est bien divisibl par chaque nombre premier

[aviateurpilot]

ok, c'est bien,
donc si on suppose que
alors les premier p tel que
on aura plus

[lapras]

ah pardon
on est allé trop vite
f(p) divise f(n) - n
reste a trouver des choses sur f(p) !
(tu as considéré f(p) = p , c'est trop rapide)
je pense que tu as du faire dans ta tete le p divise f(n)-n mais c'est pas évident forcément il faudrait détailler. De plus il y a d'autres solutions que l'identité.

[aviateurpilot]

ah pardon
on est allé trop vite
f(p) divise f(n) - n
reste a trouver des choses sur f(p) !
(tu as considéré f(p) = p , c'est trop rapide)
je pense que tu as du faire dans ta tete le p divise f(n)-n mais c'est pas évident forcément il faudrait détailler. De plus il y a d'autres solutions que l'identité.

voila ce que vous avez ecris:
(*):
la seule soution c'est
(*) ne donne jamais divise sauf si tu as oublier quelque chose dans l'enoncé.

[lapras]

Je m'excuse c'est
f(n)^p = n [f(p)]
encore désolé...

[aviateurpilot]

Je m'excuse c'est
f(n)^p = n [f(p)]
encore désolé...

c'est pa grave,

donc
ce qui donne ou .
donc partition des nombre premier tel que


si
on prend

donc

si est infinie alors
si alors avec quelconque
si alors f(n)=1 si n est premier et f(n)=h(n) si n est composé avec quelconque

[lapras]

On peut montrer que si il existe p tel que f(p) = p
alors f(q) = q pour tout q premier
en effet;
si il existe q tel que f(q) = 1
alors
f(q) = q = 1 [mod p]
en prenant p > max(f(q), q), on obtient que q = 1
impossible
donc pour tout q premier f(q) = q

Tu as considéré le cas A fini, je ne pense pas que ca soit possible

[aviateurpilot]

On peut montrer que si il existe p tel que f(p) = p
alors f(q) = q pour tout q premier
en effet;
si il existe q tel que f(q) = 1
alors
f(q) = q = 1 [mod p]
en prenant p > max(f(q), q), on obtient que q = 1
impossible
donc pour tout q premier f(q) = q

Tu as considéré le cas A fini, je ne pense pas que ca soit possible

oui t'a raison A ne peux pas etre infini, et dans ma solution je n'ai fait qu'un implication j'ai pas fait la receproque
tu a montrer ici que si alors
alors tt ce que tu px dire c'est que (pour A fini)

voila la recproque;
1) f(n)=n est bien une solution
2) pour
alors pour tous (impossible)
3) pour on aura f(n) est quelconque pour n composé et si n est premier

[lapras]

Voila c'est ca ! :we:
Jolie équation fonctionnelle je trouve ! Arithmmétique + équation fonctionnelle