Polynôme et indices

[Doraki]

un polynôme P à coeffcients réels contenant s coefficients non nuls peut avoir au plus (s-1) racines dans R+* :

si s=1, c'est facile.
si s>1, alors en divisant P par un X^d adéquat pour avoir un terme constant non nul, on ne change pas les racines, puis en dérivant, on obtient un polynôme ayant (s-1) coeffs non nuls, donc par hypothèse de récurrence, il a au plus (s-2) racines dans R+*. Par le théorème de Rolle, P a donc au plus (s-1) racines dans R+*.

Maintenant, pour l'exo :
soit s = |I\{0}| (si 0 est dans I on peut le retirer).
P a donc au plus s coeffs non nuls donc il a au plus (s-1) racines dans R+*. Or il est censé avoir au moins s racines dans N*.
D'où une contradiction, à moins que P=0.

[Nightmare]

:++: tatoubon

[benekire2]

Merci Doraki ! C'est bien plus clair maintenant ... et en plus c'est "pas dûr" quand on le lit ... :zen:

Très bel exo en tout cas !

[windows7]

doraki > et avec le theoreme de rouché ? :)