Polynome

[mathlegend]

bonsoir
prouver que si l'équation = admet une solution réels au moins on a >=

[Nightmare]

Salut,

bon une idée, j'ai pas mené les calculs jusqu'au bout parce que ça fait déjà 30 minutes que je suis à corriger toutes les fautes de calcul jusque là, j'ai décidé d'abandonner pour ce soir et de me contenter de croire que ça marche :

Si ton polynôme a une solution réelle, il en a deux (puisqu'en factorisant par (X-t) où t est la dite racine, le quotient sera de degré 3 donc admet lui aussi une racine réelle). Du coup, on va pouvoir le factoriser sous la forme .

en développant et en identifiant les coefficients, on obtient :



Alors

et par la ligne 4 du système,

du coup il reste que

et par la ligne 2 d'où et il reste à montrer que ce qui est dans le croché est positif, c'est là que j'ai arrêté les calculs de fatigue, mais en substituant par ça devrait marcher !

[Zweig]

Si on arrive à montrer que alors c'est fini (conséquence de l'inégalité arithmético-géométrique sur les 4 premiers termes de ton crochet), perso j'vois pas trop comment ...

[ffpower]

Je vois pas trop non plus, surtout qu'en général, quand xy=1, x+y a tendence à être plutot plus grand que 1 ( et même que 2 ) :we:

[Zweig]

L'truc c'est qu'ici x et y ne sont pas forcément positifs

[Anonyme]

.

Je peux supposer sans perte de généralité que

et il reste à montrer que ce qui est dans le croché est positif,

En remplaçant par on obtient :






CQFD

Je rencontre des problemes de Latex

[Ben314]

Bon, je pense avoir le bon filon, mais il faudrait affiner la fin...

Pour changer un peu, on va noter et ...
Comme et , la conclusion es immédiate si ou .
On peut donc supposer que donc la dérivée de doit s'annuler au moins une fois en dehors de (*)
Mais donc le trinôme doit s'annuler au moins une fois en dehors de .
et il faut que , c'est à dire que
Comme donc

Cela montre que : il en manque un peu...

P.S. : c'est à partir de (*) que ça déconne : en fait, si sont les racines il faut que et que mais je n'arrive pas à le traduire simplement...

[Ben314]

Si ton polynôme a une solution réelle, il en a deux (puisqu'en factorisant par (X-t) où t est la dite racine, le quotient sera de degré 3 donc admet lui aussi une racine réelle). Du coup, on va pouvoir le factoriser sous la forme .

Je comprend pas trop l'idée : les seuls polynômes irréductible de R[X] sont de degrés 1 ou 2, donc que le polynôme de départ ait ou pas des racines, on pourra forcément le factoriser sous la forme que tu donne dans R[X] !!!!

Par contre, ce que fait Qmath me semble correct (en fait, j'avais rien lu avant de poster...)

[Anonyme]

,

Je pense que tu t'es trompe de signe . (prendre a=1 et b=2) et pour l’inégalité precedante aussi.

[Nightmare]

Je comprend pas trop l'idée : les seuls polynômes irréductible de R[X] sont de degrés 1 ou 2, donc que le polynôme de départ ait ou pas des racines, on pourra forcément le factoriser sous la forme que tu donne dans R[X] !!!!

Par contre, ce que fait Qmath me semble correct (en fait, j'avais rien lu avant de poster...)

Oui tu as raison, il me manquait effectivement la supposition que l'un des deux facteurs est de discriminant positif !

[Ben314]

Je pense que tu t'es trompe de signe . (prendre a=1 et b=2) et pour l’inégalité precedante aussi.

Effectivement, mais c'est une faute de frappe vu que la suite utilise bien l'inégalité dans l'autre sens...

Je corrige.

P.S. : De toute façon, cherche pas : c'est plus long et plus compliqué que ce que vous avez fait et, pour le moment, ça permet pas de conclure... :mur:

[laya]

Sans trop de calculs,
Zéro n'est pas solution et en divisant les deux membres de l'équation par x² :

Il vient que :

Soit :