Polynome scindé sur R

[lapras]

Bonsoir,
(Oral, X)
soit P un polynome à coefficients réels, de degré n, et qui a n racines réelles distinctes.
Montrer qu'il est impossible que deux coefficients consécutifs soient nuls.


Bonne chance !
Lapras :we:

[Zweig]

Salut,

J'vais dormir, donc juste les grandes lignes, je détaillerai si besoin est :

D'après le théorème de Taylor, notre polynôme s'écrit sous la forme :



On montre ensuite par récurrence que n'a que des racines réelles simples sur , avec . Or en raisonnant par l'absurde, on démontre que 0 est racine double de pour un certain entier : absurde. D'où la conclusion.