Polynôme positif.

[Ben314]

Une petite amusette pas trop difficile :

(I) Soit un polynôme à coefficients réels (i.e. ) tel que, pour tout réel , on ait .
VRAI ou FAUX :
(1) peut forcément s'écrire avec .
(2) peut forcément s'écrire avec .
(3) peut forcément s'écrire avec et .

(II) : Mêmes questions avec à la place de partout.

(III) : Mêmes questions avec à la place de partout.

[mathelot]

pour la question I
Le polynôme s'écrit comme produit de trinômes du second degré de discriminant négatif ou nul.
Or le produit de sommes de deux carrés est une somme de deux carrés (identité de Lagrange)
donc P s'écrit comme la somme de deux carrés. donc réponse 2 dans le cas R[X] .

[ffback]

Le 3) se divise naturellement en 2 questions, selon que l'on accepte que n dépend de P ou pas.

Je n'ai pas encore réussi la II, j ai seulement obtenu les poly de degré 2 (sans chercher á optimiser, ça donne une somme de 8 carrés...)

Le III, x^2+x+1 donne un contrexemple (á détailler)

[Elias]

Pour le (1), c'est faux pour les trois anneaux R,Q,Z.
On prend P= X^2+1. Si un tel polynome A existe, alors en passant au degré, on a nécessairement deg(P)=2deg(A) car R,Q Z sont intègres.

Ce qui donne dans cet exemple, deg(A)=1 et donc A est de la forme aX+b.
En developpant (aX+b)^2 et par identification, on voit que ça peut pas marcher.

Pour le (3), si on a prouvé le (2), c'est fini.
Car si P s'écrit A^2+B^2, alors pour tout n, il s'écrit A1^2+A2^2+...+An^2 avec A1=A, A2=B, et A3=...=An=0.


Pour le (2) (cas R[X]) vite fait


Quelques remarques:
-si z est une racine de P dans C qui n'est pas réelle, alors (X-z)(X- z barre) = (X-Re(z))^2 + |z|^2-Re(z)^2 possède un discriminant égal à 4(Re(z)^2-|z|^2). Ce discriminant est négatif (car aucune racine réelle). Ceci prouve que ce polynome s'écrit bien comme somme de deux carrés dans R[X].

-le produit de polynômes qui s'écrivent comme somme de deux carrés s'écrit lui même comme somme de deux carrés (classique...)

-Si P est maintenant un polynome de R[X] tel que P(x)>=0 pour tout x réel, alors si a est une racine de P dans R, l'ordre de multiplicité de a est forcément pair.

En effet, en notant n cet ordre, on a P = (X-a)^n Q avec Q dans R[X] et a n' est pas racine de Q.
On suppose n impair.
Alors pour tout x réel :
P(x)=(x-a)^n Q(x)
Si x>a, on a: P(x), (x-a)^n positifs donc Q(x) positif.
Puis, si x <a, on a P(x) positif et (x-a)^n négatif (car n impair) donc Q(x) négatif.

En passant à la limite, il vient Q(a)=0 d'où la contradiction.


Maintenant, en prenant P dans R[X], on commence par le decomposer dans C[X].
Dans cette décomposition, on trouve un produit de polynômes du type :
(X-a)^n avec a réel et n pair donc qui s'écrivent bien comme somme de deux carrés dans R[X] trivialement
(X-z)(X-z barre) qui sont bien somme de deux carrés dans R[X] d'apres ce qui précède
Et une constante (coeff dominant) qui est positive (donc somme de deux carrés) car un polynome est équivalent à son monôme de plus haut degré en + ou - infini donc un coeff dominant négatif poserait problème.


Dans Z[X], ça doit être faux, il suffit de faire une identification avec un truc du style X^2+X+1 mais j'ai pas trop regardé