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Olympiades mathématiques, énigmes et défis
MMu
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par MMu » 14 Mar 2019, 15:58

Soit un groupe multiplicatif et soient tels que
est un entier positif.
Est ce qu'on a toujours (élément neutre) .. :?: :frime:



dereck
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Re: Groupe

par dereck » 30 Mar 2019, 23:00

MMu a écrit:Soit un groupe multiplicatif et soient tels que
est un entier positif.
Est ce qu'on a toujours (élément neutre) .. :?: :frime:


Bon je pense que tu devrai quantifier le problème,
Mais si cette relation est vrai pour tout a , alors elle est en particulier pour a=0 donc on conclut

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mathelot
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Re: Groupe

par mathelot » 30 Mar 2019, 23:25

pfff

MMu
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Re: Groupe

par MMu » 01 Avr 2019, 07:10

dereck a écrit:
MMu a écrit:Soit un groupe multiplicatif et soient tels que
est un entier positif.
Est ce qu'on a toujours (élément neutre) .. :?: :frime:


Bon je pense que tu devrai quantifier le problème,
Mais si cette relation est vrai pour tout a , alors elle est en particulier pour a=0 donc on conclut

Tu n'as rien compris ... :twisted:

ffback
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Re: Groupe

par ffback » 16 Avr 2019, 16:21

En itérant la première relation on obtient pour tout que , On applique pour . Notant on déduit donc en particulier que commute avec . En utilisant ce fait suivi de la deuxième relation on obtient:
,
d'ou on conclut que commute avec .

En repartant de qu'on éleve à la puissance , ça donne , donc , et donc , c'est à dire . Puis en réutilisant de nouveau la formule avec on déduit qu'on a aussi . Et puisque et sont premiers entre eux, on conclut que , et donc aussi.

 

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