Sur le groupe des homéomorphismes croissants de R

par **ffpower** » 04 Oct 2010, 01:51

Soit

le groupe des homéos croissants de

dans

, muni de la loi de composition.

1)Quid des sous groupes distingués de G? G est il simple?

2)Quid des automorphismes de G? Sont ils tous interieurs? ( i.e. de la forme

pour un certain

de G )

par **mathelot** » 04 Oct 2010, 07:37

Bonjour,

c'est stable par addition (c'est un cône?)

il y a des fonctions polynômes

et

et des fonctions transcendantes comme sh et argsh

Il me semble que ceux qui ont un point fixe forme un sous-groupe distingué

par **windows7** » 04 Oct 2010, 10:01

salut,

mathelot : c'est une condition necessaire mais pas suffisante

f= 2x, g=e^x-1

f(0)=0, g(0)=0

gof different de fog

par **Doraki** » 04 Oct 2010, 12:48

Je trouve 3 sous-groupes distingués non triviaux.

par **ffpower** » 04 Oct 2010, 13:15

mathelot a écrit:Il me semble que ceux qui ont un point fixe forme un sous-groupe distingué

C'est bien distingué ( dans le sens "stable par conjugaison" ), mais c'est pas un groupe.

Doraki a écrit:Je trouve 3 sous-groupes distingués non triviaux.

Tu as trouvé qu'il y en avait au moins 3, ou exactement 3?

par **Doraki** » 04 Oct 2010, 13:20

J'en ai au moins 3, et je pense qu'il y en a exactement 3.
Mais j'en suis pas encore sûr.

par **mathelot** » 04 Oct 2010, 15:50

Bonjour,

je crois que j'en tiens un !

(le compact dépend de f évidemment)

par **ffpower** » 04 Oct 2010, 16:01

Exact ! Et les 2 autres qu'a obtenu Doraki ne sont pas loin :we:

par **Doraki** » 04 Oct 2010, 17:26

Je suis à peu près sûr qu'il y en a que 3.

J'ai aussi un élément non trivial de Aut(G)/Int(G).
Mais là je sais pas du tout si y'en a d'autres.

par **Ben314** » 04 Oct 2010, 18:10

Pour les éléments "non intérieurs", je voterais bien pour un comportement ressemblant à celui de An où le groupe des automorphismes est Sn.
Ici, si on prend un homéo h décroissant (donc un élément qui n'est pas dans G) et que l'on considère la conjugaison par h, il me semble que c'est un automorphisme de G, mais je pense pas qu'il soit intérieur (bon, effectivement, ça ne fait qu'un élément dans Aut(G)/Int(G)...)

Par contre, je vois pas les deux autres sous groupes distingués de G : j'ai fortement l'impression que les classes de conjugaisons sont déterminées par la nature (topologique) des ensembles Af={x/f(x)>x} et Bf={x/f(x)<x} mais à part la compacité, je ne trouve rien qui soit conservé par les produits... :cry:

par **mathelot** » 04 Oct 2010, 18:49

Dans (2), on a vu que sh (sinus hyperbolique) et polynômes appartenaient à G

un autre ?

f est à croissance polynomiale si il existe un polynôme P
tel que

au voisinage de

par **alexiatheone** » 04 Oct 2010, 19:18

Bonjour tout le monde , je suis en 4° et mon proffesseur ma donné un probleme a résoudre mais il est trop dur , j'y arrive pas du tout et pourtant j'ai essayé ; Voila le problème suivant :

"nous sommes des points et nous habitons tous dans un rectangle dont les sommets ont pour coordonnés : (-7;10) (7;10) (7;-10) (-7;-10); Voici nos adresses :
famille 1 : notre ordonné est l'opposé de notre abscisse
famille 2 : en divisant notre abscisse par 2 et en retranchant par 5 au résultat , on troive notre ordonné
famille 3 : en multipliant notre abscisse par -3 et en retranchant 7 au résultat , on trouve notre ordonnée
famille 4 :notre ordonné est égale au carré de notre abscisse divisé par -2
famille 5 : notre ordonnée est égale au cube de notre abscise divisé par -4
famille 6 : le produit de notre abscisse et de notre ordonnée est toujours égal a 4
famille 7 : la somme du carré de notre abscisse et du carré de notre ordonnée est toujours égal a 25

Pour chaque famille , trouve 4 points de la famille

sa serait vraiment gentil de m'aidez !!!!!

cordialement et mercii d'avance ,

alexiiiaa

par **mathelot** » 04 Oct 2010, 19:20

............................................... :ptdr:

par **Doraki** » 04 Oct 2010, 19:28

mathelot a écrit:

Ce n'est pas un sous-groupe distingué.
Si on prend le conjugué de la fonction x -> x+1 (qui est dans G1) par une fonction qui se comporte comme x -> e^(e^(e^x)) en +l'infini, ça donne du x^(ln(x)^(e-1)), qui n'est pas à croissance polynômiale, donc pas dans G1.

par **mathelot** » 04 Oct 2010, 20:00

Doraki a écrit:Ce n'est pas un sous-groupe distingué.
Si on prend le conjugué de la fonction x -> x+1 (qui est dans G1) par une fonction qui se comporte comme x -> e^(e^(e^x)) en +l'infini, ça donne du x^(ln(x)^(e-1)), qui n'est pas à croissance polynômiale, donc pas dans G1.

je n'ai pas compris ton contre-exemple, si on considère trois exponentielles
pourquoi on a pas trois log pour la réciproque ?

ln(ln(ln(exp(exp(exp(x)))+1))))

par **Doraki** » 04 Oct 2010, 20:04

Bah si, mais le conjugué de x -> x+1 par une fonction de ce genre, ça donne la fonction x -> e^e^e^(1+ln ln ln x) au voisinage de +l'infini, et n'est pas à croissance polynômiale parceque ça se met sous la forme que j'ai donnée tout à l'heure.

(et j'imagine que si on le met dans l'autre sens, la réciproque risque de ne pas être à croissance polynômiale non plus)

Et oui, e^e^e^x n'est pas un homéomorphisme de R dans R,
mais c'en est un de R+ dans [e^e ; + l'infini[, et si on y colle n'importe quel homéomorphisme de R- dans ]-l'infini ; e^e], ça donne un homéomorphisme de R dans R qui, quand on regarde à l'infini, fera bien ce qu'il faut.

par **mathelot** » 04 Oct 2010, 20:04

L'exponentielle est pas un morphisme de R dans R

par **Ben314** » 04 Oct 2010, 20:09

mathelot a écrit:je n'ai pas compris ton contre-exemple, si on considère trois exponentielles
pourquoi on a pas trois log pour la réciproque ?

Je n'ai (bien sûr) pas écrit la preuve (qui me parrait un peu chiante à rédiger), mais je suis à peu prés convaincu que toutes les fonctions telles que f(x)>x pour tout x sont dans la même classe de conjugaison.
De même celles telles qu'il existe un unique point fixe xo et telles que f(x)x pour x>xo sont toutes dans la même classe.
De même pour celle avec 2 point fixes et qui , par exemple, sont "dessus,dessus,dessous" par rapport à la diagonale.
De même pour celle dont l'ensemble des points fixes est un intervalle non réduit à un point et qui sont par exemple toujours en dessous de la diagonale.

Si je ne me trompe pas, cela signifie que l'on ne peut rien trouver de distingué en regardant, par exemple la vitesse de croissance à l'infini.

Tient, en réfléchissant, je me demande si les deux autres sous groupes, c'est pas bètement les fonction telle que f(x)=x en dehors d'un compact ET f(x)>=x pour tout x (respectivement f(x)=<x pour tout x)...

par **Ben314** » 04 Oct 2010, 20:16

mathelot a écrit:L'exponentielle est pas un morphisme de R dans R

Remplace les exponentielle par des sinus hyperboliques : ça ne changera pas "l'essence" de ce que dit Doraki (mais ça rendra l'exemple correct...)

par **ffpower** » 04 Oct 2010, 20:38

Ben314 a écrit:Tient, en réfléchissant, je me demande si les deux autres sous groupes, c'est pas bètement les fonction telle que f(x)=x en dehors d'un compact ET f(x)>=x pour tout x (respectivement f(x)=x pour tout x sont dans la même classe de conjugaison.
De même celles telles qu'il existe un unique point fixe xo et telles que f(x)x pour x>xo sont toutes dans la même classe.
De même pour celle avec 2 point fixes et qui , par exemple, sont "dessus,dessus,dessous" par rapport à la diagonale.
De même pour celle dont l'ensemble des points fixes est un intervalle non réduit à un point et qui sont par exemple toujours en dessous de la diagonale.

Effectivement, on peut dire que c'est le lemme fondamental pour étudier la structure de groupe des homéos de R, qu'on peut résumer ainsi :
Si (f(x)>x g(x)>x ), alors f et g sont conjugués dans G.

Sur le groupe des homéomorphismes croissants de R

Sur le groupe des homéomorphismes croissants de R

problème tres dur

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