Groupe infini et ordres finis

[Nightmare]

Hello,

pour les amateurs de théorie des groupes :

1) Montrer que tous les éléments d'un groupe fini sont d'ordre fini (trivial)

2) Réciproquement, si tous les éléments d'un groupe sont d'ordre fini, le groupe est-il nécessairement fini? (plus intéressant...)

:happy3:

[Ben314]

Si X est un ensemble quelconque, l'ensemble P(X) des parties de X muni de la loi "différence symétrique" est un groupe (commutatif) tel que...

[benekire2]

Salut !

1- Oui, pas très dur
2- Intéressant, je vais y réfléchir !

PS. Bonjour Ben ! Dis donc aujourd'hui tu carbure et tu expédie les défis de nightmare :ptdr:

[Nightmare]

Si X est un ensemble quelconque, l'ensemble P(X) des parties de X muni de la loi "différence symétrique" est un groupe (commutatif) tel que...

Exemple simple ! Et si l'on demande à ce qu'il y ait des éléments d'ordre aussi grand que l'on veut ? :lol3:

[Doraki]

Q/Z me paraît être un bon truc.

[Ben314]

QUESTION :
Le groupe (additif) Q/Z est il isomorphe à la somme des groupes (additifs) Z/nZ où n décrit N* (qui est l'exemple que j'aurais donné) ?

[Doraki]

Les éléments de ta somme sont des sommes finies d'éléments de Z/nZ et pas des sommes formelles infinies ?

De toutes façons ça doit être faux parceque Q/Z a un seul élément d'ordre 2 (1/2), et dans ton groupe, j'crois qu'il y en a tout plein.

[Ben314]

Les éléments de ta somme sont des sommes finies d'éléments de Z/nZ et pas des sommes formelles infinies ?

Effectivement, j'aurais du préciser : la "somme" des Z/nZ désigne les éléments du produit des Z/nZ dont toutes les composantes sont nulles sauf un nombre fini d'entre elles (si on prenait le produit tout entier des Z/nZ, certains éléments ne seraient pas d'ordre fini)

De toutes façons ça doit être faux parceque Q/Z a un seul élément d'ordre 2 (1/2), et dans ton groupe, j'crois qu'il y en a tout plein.

Effectivement, cela prouve que Q/Z et la somme des Z/nZ ne sont pas isomorphes. Sauf que je me suis gourré en tapant la question (et j'ai failli te répondre que ce n'était pas suffisant avant de relire ma propre question... :marteau:)

Donc, la question que je voulais poser est :
"Q/Z est il isomorphe à un sous-groupe de la somme des Z/nZ ?"

[Doraki]

Mrgnrk j'voulais dormir moi.

Je pense que c'est pas possible.

On prend f : Q/Z -> G injectif.

On regarde par exemple x = f(1/2).
x est non nul. On regarde une composante non nulle xn dans Z/nZ.
On va avoir bien du mal à diviser x par n dans G, alors que dans Q/Z, c'est facile.

[Ben314]

Tout à fait... :zen:

[Nightmare]

Hello !

J'avais bien Q/Z en exemple. En parlant d'isomorphisme, ce groupe a aussi la particularité d'être isomorphe à un de ses groupes quotient : avec n > 1

Edit : Tient vous en voyez un autre groupe isomorphe à un de ses groupes quotient? Il y en a un beaucoup plus simple

[Ben314]

Si on prend un sous groupe cyclique fini H du groupe (multiplicatif) S1 (complexes de module 1), le quotient est...

[Nightmare]

Ouaip, j'avais en tête le plus simple {-1;1}.

[Doraki]

Je sais pas si R/Z est plus simple que Q/Z, je dirais que nan.

Sinon, j'avais en tête {0}