Du fibo au polynome

[nodgim]

Une curiosité avec une suite à caractère Fibonaccien.

Soit U4=a*U3+b*U2+c*U1+d*U0
Uo à U4 étant les 5 premiers termes de la suite définie comme ci-dessus.

On pose R4=U4/U3, R3=U3/U2, etc..
R4=U4/U3=a+b/R3+c/(R2R3)+d/(R1R2R3)

Si R converge, on aura au bout d'un certain nombre d'itérations:
R=a+b/R+c/R²+d/R^3 et en multipliant tout par R^3:
R^4=a*R^3+b*R²+c*R+d
ou
R^4-a*R^3-b*R²-c*R-d=0

Donc R est une racine du polynome!

Coté pratique, on pose Uo=U1=U2=U3=1. de toute façon, ça donne toujours le même résultat. Au bout de 20 itérations, on a déja une très bonne approximation.
Lorsque R ne converge pas, c'est que le polynome n'a pas de racines réelles.

Je n'ai pas l'explication de l'entêtement de la suite posée à donner toujours la même racine et ne sais pas de quelle manière on pourrait trouver les autres racines par cette méthode.
Des idées ?

[Ben314]

Salut nodgim,
La "théorie" qu'il y a derrière tout ça, c'est que l'ensemble de toutes les suites vérifiant une formule de récurence du type :
pour tout
est un espace vectoriel de dimension 4 (car les 4 premières valeurs de la suite définissent toutes les autres).
Or, si est une racine (complexe) du polynôme , il est façile de vérifier que la suite est solution de . On montre aussi que si est racine double [resp. triple, quadruple] du polynôme alors la suite [resp. , ] est solution de .
Tout cela montre que, si ton polynôme admet 4 racines distinctes alors la suite est de la forme où sont des constantes complexes.
Si la plus grande racine (en module) est et que c'est la seule ayant ce module (ce qui implique qu'elle est réelle, sinon son conjuguée serait aussi une racine du polynôme) et que est non nul (ce qui dépend des 4 valeurs initiales) alors il est clair que est équivalente à et donc tend vers .
Cela explique ton "truc" mais montre aussi qu'il peut ne pas marcher dans certain cas :
1) Si tu part du polynôme X(X-1)(X-2)(X-3) que tu développe et que tu prend , ta suite sera constante égale à 1 et le rapport ne tendra pas vers 3 (=égal la plus grande racine). Idem si tu prend , , et : ta suite vaudra et le rapport ne tendra pas vers 3. Par contre, si tu prend les quatre premières valeurs "au pif", il y a de trés forte chance pour que le rapport tende vers 3.
2) Si tu part du polynôme (X²+9)(X-1)(X+2), ton "truc" ne marchera pas car la plus grande racine (en module) n'est pas réelle.
3) Plus vicieux : tu prend comme polynôme (X-2)(X+2)(X²+1) : il y a deux racines réelles de même module : ton "truc" ne marchera pas non plus.

En ce qui concerne la recherche d'autres racines que celle de plus grand module avec ce type de méthode, je pense que le plus simple est, lorsque l'on a approché une racine de factoriser par (X-la_racine) et d'essayer de réappliquer la méthode sur le quotient.

P.S. il y a des méthodes bien meilleures pour trouver le nombre de racines réelles (théorème de sturm : trés joli et trés simple) et pour les approcher (méthode des tangentes de newton)

[nodgim]

Merci pour tes explications claires. Je me suis toujours demandé au lycée à quoi pouvait bien servir les espaces vectoriels, alors qu'on en a mangé en veux tu en voilà, j'ai au moins aujourd'hui une application concrète. Je ne connaissais pas du tout les propriétés que tu indiques. L'ignorance est un abîme sans fond.....