Équation

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MMu
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Équation

par MMu » 16 Déc 2017, 22:42

Soit un réel positif. Combien de solutions positives a l'éqution ? :frime:



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Ben314
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Re: Équation

par Ben314 » 16 Déc 2017, 23:12

Salut,
- pour une seule solution,
- pour deux solution,
- pour une solution (double),
- pour pas de solution.
Avec
()
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nodgim
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Re: Équation

par nodgim » 17 Déc 2017, 10:54

Ben : tu te serais donné moins de mal à écrire a0 = e^(1/e).

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Ben314
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Re: Équation

par Ben314 » 17 Déc 2017, 12:46

J'avais même pas fait gaffe que le x_o c'était simplement e...
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Re: Équation

par MMu » 19 Déc 2017, 01:35

Bigre .. que des affirmations ... :frime:

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Re: Équation

par MMu » 17 Mar 2018, 22:17

Ben314 a écrit:Salut,
- pour une seule solution,
- pour deux solution,
- pour une solution (double),
- pour pas de solution.
Avec
()

Je reviens sur le problème puisque la 1ère affirmation est fausse .
Pour il y a trois solutions distinctes:
1) , limite de la suite
2), limite de la suite
3), solution de
Je vous laisse réfléchir la dessus (sic !) .. :frime:

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Ben314
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Re: Équation

par Ben314 » 18 Mar 2018, 10:50

Lorsque a=1/2, tu peut me donner une valeur approximative (avec Géogébra par exemple) des trois points où la courbe de x -> a^(a^x)-x coupe l'axe des x ?
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Dacu
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Re: Équation

par Dacu » 18 Mar 2018, 11:09

MMu a écrit:Soit un réel positif. Combien de solutions positives a l'éqution ? :frime:

Bonjour,

Le nombre de solutions positives dépend de la valeur du nombre .L'équation peut avoir un maximum de trois solutions en fonction de la valeur du nombre est la solution de l'équation et est la constante d'Euler.

Cordialement,

Dacu

Black Jack
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Re: Équation

par Black Jack » 18 Mar 2018, 13:16

Ben314 a écrit:Lorsque a=1/2, tu peut me donner une valeur approximative (avec Géogébra par exemple) des trois points où la courbe de x -> a^(a^x)-x coupe l'axe des x ?


Salut,

Pas pour a = 1/2, mais par exemple pour a = 0,01 (qui est bien dans l'intervalle ]0 ; 1])

solutions approchées:
x = 0,0130925
x = 0,277099
x = 0,941488

Donc, "pour a compris dans ]0 ; 1] une seule solution" n'est pas correcte.

8-)

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Re: Équation

par MMu » 19 Mar 2018, 04:54

Notons .
Voici ce que je propose :
1) : 3 solutions distinctes
2) : 1 solution triple
3) : 1 solution simple
4) : 2 solutions distinctes
5) : 1 solution double
6 ) : pas de solution

Qui sait le prouver ?! .. :frime:

Black Jack
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Re: Équation

par Black Jack » 30 Mar 2018, 13:57

Petit débroussaillage

1) Si a = 1
1^(1^x) = x
1 = x

1 solution qui est x = 1

2) Si a > 1

Les solutions de a^(a^x) = x sont les mêmes que celles de ln(a^(a^x)) = ln(x)
donc de : a^x * ln(a) = ln(x)

Soit f(x) = a^x.ln(a) - ln(x)

f'(x) = a^x*ln²(a) - 1/x

f''(x) = a^x*ln³(a) + 1/x² > 0 et donc f'(x) est croissante.

a^x*ln²(a) > 0 et tend vers +oo avec x
0 < 1/x < +oo avec x de 0+ à +oo

Et donc f'(x) = 0 pour 1 et 1 seule valeur de x sur R*+, cela correspond à un minimum de f(x).

Le nombre de solutions dépend du signe de la valeur du minimum de f(x)

f'(x) = 0 pour x = W(1/ln(a))/ln(a) (Avec W() la fonction W de Lambert)

La valeur du min de f sera f(W(1/ln(a))/ln(a))

On résout f(W(1/ln(a))/ln(a)) = 0 et on trouve (Si on possède ce qu'il faut pour manipuler la fonction W(), par exemple Wolfram alpha): a = e^(1/e)

f'(x) augmente avec la valeur de a --> la position du minimum de f(x) augmente (x plus grand) si a augmente.

On a donc :

min de f(x) < 0 si a est compris dans ]1 ; e^(1/e)[
min de f(x) = 0 si a = e^(1/e)
min de f(x) > 0 si a > e^(1/e)

Et donc, jusqu'ici, on a :

a = 1 : l'équation a 1 seule solution (qui est x = 1)
a dans ]1 ; e^(1/e)[ : l'équation a 2 solutions
a = e^(1/e) : l'équation a 1 solution (double)
a > e^(1/e) : l'équation n'a pas de solution.

3) Si a < 1

... Plus tard si j'ai le courage.

Il y a probablement des voies plus simples.

8-)

 

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