Entier ???

[Ben314]

Salut,
Montrer que, quelque soient les entiers ,
le nombre

divise le nombre
.

[lapras]

Salut,
je peux voir A comme un polynome unitaire à coefficients entiers en q et pareil pour B. Il suffit de montrer que A divise B (et, en fait, c'est nécessaire comme on le voit en écrivant la division euclidienne de B par A et en considérant le reste).

Il suffit de montrer que les racines de A (avec multiplicité) sont des racines de B.
Les racines de A sont des racines -ieme de l'unité pour .
Le nombre de racine d'ordre inférieur ou égal à de A est fois le le nombre de multiple de inférieur ou égal à . Le nombre de racine d'ordre inférieur ou égal à de B est fois le le nombre de multiple de entre et . Ce dernier nombre est supérieur ou égal au précédent.

[Ben314]

Ça me semble correct, mais c'est pas clair ton truc d'ordre.
Il faut dire que les racines en question ont un ordre de multiplicité en temps que racine de A (ou de B) et aussi un ordre en temps qu'élément du groupe des racines ?-ièmes de l'unité.
Tu peut un peu détailler ton

Le nombre de racine d'ordre inférieur ou égal à de A est fois le le nombre de multiple de inférieur ou égal à .

que je suis pas sûr de bien comprendre.


Sinon, s'il y en a que ça interesse, il y a aussi des preuves (moins esthétiques) de niveau totalement élémentaire, (en fait n'utilisant que le fait que la somme de deux entiers est un entier...)

[lapras]

Désolé, c'est effectivement imprécis.
Dans ma solution, je prends une racine de A, je calcule sa multiplicité, et je compare cette multiplicité à sa multiplicité dans B. J'utilise implicitement le fait suivant : le nombre de racine k-ieme primitives de l'unité dans X^m-1 est 0 si k ne divise pas m et phi(k) sinon (où phi = indicatrice d'Euler).
Aussi, la multiplicité d'une racine primitive k-ieme de l'unité dans A (resp. dans B) est la même pour n'importe quelle choix de racine primitive k-ième.
Il suffit donc de comparer le nombre (noté m_k) de racines primitives d'ordre k racines de A et le nombre (noté n_k) de racines primitives d'ordre k racines de B.
On a m_k = phi(k)* nombre de multiples de k <= à d.
On a n_k = phi(k)* nombre de multiples de k entre n+1 et n+d.
je remarque que (nombre de multiples de k <= à d) est plus petit ou égal à (nombre de multiples de k entre n+1 et n+d), donc m_k <= n_k.

[lapras]

Voici une autre solution, due à un ami.
Déjà il suffit de prouver la proposition pour une infinité de q, et donc il suffit de le faire pour pour un nombre premier. En effet, on fait la division euclidienne de B par A (en tant que polynômes unitaires à coefficients entiers en la variable q) : , . On a divise pour une infinité de , donc car asymptotiquement.

Maintenant, considérons un -espace vectoriel de dimension n+d (notations de l'énoncé). Alors agit librement sur l'ensemble des uplets de vecteurs de qui forment une famille libre. Le cardinal de est . Le cardinal des -uplets de formant une famille libre est . Donc divise (et leur quotient est le nombre de sous-espaces de dimension de ), d'où le résultat.

[Ben314]

ça roule pour la première preuve.

En ce qui concerne la deuxième, c'est presque exactement ça qui m'a donné l'idée du truc :
http://www.maths-forum.com/egalite-154008.php

Aprés, une autre méthode plus calculatoire, mais demandant moins de bagage, c'est de noter le rapport B/A (en considérant q fixé) de vérifier qu'il est entier pour n=0 et pour d=1 puis de montrer qu'il y a une formule du style de celle du triangle de pascal avec et entiers.