X^n+x^(-n) entier (mais en fait aucun rapport...)

[Nightmare]

Hello,

trouvée dans un bouquin :

Soit x un réel. Montrer que si est entier pour deux valeurs consécutives de n, alors il est entier pour tout n

Bon courage

:happy3:

[Judoboy]

"Exercices de haut vol", genre c'est vraiment dur ou c'est juste du marketing ?

[Nightmare]

"Exercices de haut vol", genre c'est vraiment dur ou c'est juste du marketing ?

Ce sont des exos type olympiades, très intéressants mais assez difficiles. Ils sont corrigés néanmoins.

[Luc]

Ce sont des exos type olympiades, très intéressants mais assez difficiles. Ils sont corrigés néanmoins.

Et la complétude non plus n'est pas une notion topologique!

[Nightmare]

Je suis d'accord! what else?

[Luc]

Je suis d'accord! what else?

D'ailleurs Duval parlait de notion "bornologique" ou "convergençologique" en cours
Et "groupistique" aussi.

[Judoboy]

Je vois vraiment pas comment la connexité peut ne pas être une notion topologique vu que la définition même du truc c'est avec des ouverts

Pareil pour la convergence et la compacité en fait. Tu peux expliquer Nightmare s'il te plaît ?

[Nightmare]

Hello Judoboy,

il faut comprendre "ne sont pas de nature topologique" par "ne définissent pas une topologie".

Autrement dit, la donnée des parties connexes (ou compactes ou complètes ou la donnée des suites convergentes) sur un ensemble ne permet pas de définir une unique topologie.

Ou encore, il existe des espaces topologiques avec des topologies différentes qui ont les même parties connexes (ou compactes ou complètes ou les même suites convergentes).

[acoustica]

Il est aussi dans le pdf animath sur l'arithmétique.

Mais effectivement, les livres de Borzstein sont purement énormissimes/géniaux/*à remplir avec des termes élogieux*

D'ailleurs même si la plupart sont très difficiles, il y en a aussi qui sont plus abordables. Et toujours magnifiques (le gars qui fait de la pub).

@Nightmare : super l'idée du Daily Maths Fact en signature !

[Judoboy]

Hello Judoboy,

il faut comprendre "ne sont pas de nature topologique" par "ne définissent pas une topologie".

Autrement dit, la donnée des parties connexes (ou compactes ou complètes ou la donnée des suites convergentes) sur un ensemble ne permet pas de définir une unique topologie.

Ou encore, il existe des espaces topologiques avec des topologies différentes qui ont les même parties connexes (ou compactes ou complètes ou les même suites convergentes).

Ok, c'est juste pas le sens que je donnais à "pas des notions topologiques". Pour moi la complétude n'est pas une notion topologique puisqu'elle n'est pas définie pour une topologie mais pour une métrique, mais les autres sont définis pour une topologie donnée, mais bref je pinaille.

Je m'étais jamais posé de questions sur la "correspondance" entre les propriétés de l'espace et les topologies et les métriques possibles c'est vrai que c'est intéressant.

Je dirais que la donnée des fonctions continues de X dans X permet en revanche de retrouver la topologie, je vais réfléchir à ça.

[Luc]

Une autre façon de voir les choses est de dire qu'une propriété P est topologique, si pour tout couple d'espaces topologiques homéomorphes (E,F), alors E vérifie P ssi F vérifie P. P est "constante sur les classes d'homéomorphie".

Par exemple, la notion de séparabilité (admettre une partie dénombrable dense) est topologique.

[Nightmare]

On peut aussi se poser des questions amusantes de transfert de structure.

Par exemple, prenons deux groupes topologiques (groupes pour lesquels la multiplication et le passage à l'inverse sont des opérations continues). Si l'on suppose qu'ils sont identiques en tant que groupes et identiques en tant qu'espace topologique, sont-ils aussi identiques en tant que groupes topologiques?

Le livre de Paul Hamos "problems for mathematicians, young and old" propose des questions de ce type, je le conseille à tous.

[Nightmare]

Je dirais que la donnée des fonctions continues de X dans X permet en revanche de retrouver la topologie, je vais réfléchir à ça.

J'avais zappé ça. Je suis d'avis que c'est vrai aussi. A réfléchir.

[Nightmare]

J'ai cherché parmi les contre exemples déjà obtenus pour la connexité/compacité/suites convergentes et celui des suites convergentes marche aussi pour la donnée des fonctions continues (R muni de la topologie discrète et R muni de la topologie des codénombrables). En fait, c'était évident, si les espaces ont les même suites convergentes, ils ont automatiquement les même fonctions continues.

[Nightmare]

C'est même beaucoup plus fort que ça, la donnée des ouverts définie les fonctions continues. En gros, la continuité n'est même pas une notion métrique...

[Judoboy]

On peut aussi se poser des questions amusantes de transfert de structure.

Par exemple, prenons deux groupes topologiques (groupes pour lesquels la multiplication et le passage à l'inverse sont des opérations continues). Si l'on suppose qu'ils sont identiques en tant que groupes et identiques en tant qu'espace topologique, sont-ils aussi identiques en tant que groupes topologiques?

Je dirais que non puisqu'a priori l'homéomorphisme et l'isomorphisme de groupe n'ont pas de raison d'être la même application, et que du coup on peut ne pas avoir d'application qui transpose à la fois la structure de groupe et la structure d'espace topologique, mais je vois pas de contre-exemple.

[Judoboy]

C'est même beaucoup plus fort que ça, la donnée des ouverts définie les fonctions continues. En gros, la continuité n'est même pas une notion métrique...

Ca ça me paraît évident, tu peux avoir plusieurs métriques différentes qui donnent les mêmes fonctions continues puisqu'elles engendrent la même topologie.

[Nightmare]

Comme contre-exemple, on a Q[V(2)] et Q[V(3)].

[Judoboy]

En fait, c'était évident, si les espaces ont les même suites convergentes, ils ont automatiquement les même fonctions continues.

C'est vrai que pour les espaces métriques ça non ?

Edit : pour les espaces dans lesquels chaque point admet une base de voisinages dénombrable plutôt je dirais.

[Nightmare]

Ca ça me paraît évident, tu peux avoir plusieurs métriques différentes qui donnent les mêmes fonctions continues puisqu'elles engendrent la même topologie.

Oui, mais ce que je voulais dire, c'est qu'il existe deux métriques différentes qui n'engendrent pas la même topologie et qui fournissent les même fonctions continues.

Mais en fait, c'est pas du tout évident et je ne sais pas si c'est vrai.