Somme des décimales d'un entier

par **ffpower** » 30 Juil 2009, 22:03

Inspiré par un vieux topic d'Imod dont j ai la flemme de rechercher le lien^^.Si n est un entier positif,s(n) désignera la somme des décimales de n.Montrer que:
-Si m et n sont 2 entiers,

et

-Si n est un entier divisible par

,alors

par **kasmath** » 27 Déc 2009, 22:16

salut
j'ai pas bien compris cet exercice .......est ce que on peux ecrire avec

par **Doraki** » 28 Déc 2009, 00:06

ffpower a écrit:-Si n est un entier divisible par ,alors

Ca me rappelle quand j'ai montré que la somme des chiffres de n! tendait vers l'infini.

par **nodgim** » 28 Déc 2009, 09:14

Euh, c'est quoi la décimale d'un entier ?

par **lapras** » 28 Déc 2009, 09:42

Doraki > Pourrais tu me montrer ta démo ?

par **Matt_01** » 28 Déc 2009, 22:14

Lapras, une fois démontrée la dernière identité :
Pour un entier

donné, on a pour tout multiple de

, la somme de ses chiffres est supérieure à

, qui est supérieur à

.
Finalement, pour

,

et donc

.
Cela démontre que

diverge vers l'infini.

par **lapras** » 28 Déc 2009, 22:22

Oui bien sur. Mais en fait je voulais voir sa démo de l'inégalité de ffpower.

par **Doraki** » 28 Déc 2009, 22:31

Ben ça se fait par récurrence.

On écrit n en base 10^k.
La somme des chiffres d1+...+dp de n dans cette base est n', un multiple de 10^(k-1), (comme le critère de divisibilité par 9) :
d1 + ... + dp = n'.
Et s(n) = s(d1) + ... + s(dp) >= s(d1+...+dp) = s(n') >= 9k par hypothèse de récurrence.

par **ffpower** » 29 Déc 2009, 12:21

Doraki a écrit:Ca me rappelle quand j'ai montré que la somme des chiffres de n! tendait vers l'infini.

Tiens donc, quelle coincidence :happy2:
Ok, j'avoue, c'était bien ca l origine de la chose^^
Ma preuve de l'inégalité:
On part de

, que l on réécrit

. On voit facilement que la somme des décimales du terme de droite vaut

. Et comme

, on conclut que

.

Bon,aprés, pour ma demo comme pour celle de Doraki, faut reussir a prouver la sous additivité de s en premier lieu...

par **sniperamine** » 29 Déc 2009, 12:25

Bonjour; excusez mon ignorance mais puis je savoir qu'est ce que vous entendez par décimale ? !!

par **ffpower** » 29 Déc 2009, 12:30

Ben si on regarde par exemple, disons, le nombre 2068, ces décimales sont 2,0,6 et 8 ( et la somme de ses décimales vaut donc s(2068)=2+0+6+8=16..)

par **sniperamine** » 29 Déc 2009, 12:33

ffpower a écrit:Ben si on regarde par exemple, disons, le nombre 2068, ces décimales sont 2,0,6 et 8 ( et la somme de ses décimales vaut donc s(2068)=2+0+6+8=16..)

Ah ok merci !!

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