égalité

[zork]

Bonjour

Soit K un corps fini à q éléments de caractéristique impaire p. Trouver le nombre de matrices A de telle que

Histoire de simplifier je cherche les matrices de telle que
est un polynôme annulateur de A qui a pour racines -1,1 donc A est diagonalisable. Du coup mais après je trouve des matrice qui ne vérifient pas .

Pourquoi et comment faire le cas et le cas ?


merci

[Doraki]

Dans SL2(F3), puisque tu cherches des matrices de déterminant 1, ou bien 1 est valeur propre double (et dans ce cas la matrice c'est I) ou bien -1 est valeur propre double (et dans ce cas la matrice c'est -I).

Dans le cas général pour GLn(K), il faut juste compter le nombre de manières de décomposer K^n en 2 sous-espace supplémentaires (Ker (A-I) et Ker (A+I)).

[zork]

pourquoi si j'ai un déterminant de 1 cela implique que 1 ou -1 est valeur propre double?

[Ben314]

pourquoi si j'ai un déterminant de 1 cela implique que 1 ou -1 est valeur propre double?

Parce que,
1) Comme tu l'a fait remarquer, les valeurs propres sont soit 1 soit -1.
2) Comme tu est en dimension 2, il n'y a que 2 valeurs propres.
3) Comme tu cherche les solution dans le groupe spécial linéaire, le déterminant doit être égal à 1.

BILAN : on cherche deux réels A et B tout les deux égaux à +1 ou -1 et tels que AxB=1.

Sinon, si tu veut une formule pas trop compliqué donnant le nombre de symétries dans GL(n,K) ou SL(n,k), utilise ce que t'a dit doraki.
Tu as aussi intérêt par commencer par dénombrer le nombre de bases d'un e.v. de dimension m sur K...

Remarque :
- En dimension impaire, ça peut être malin de chercher le nombre de solution dans SL(n,K) vu qu'il y en aura deux fois plus dans GL(n,K) car en multipliant par -Id on passe des solutions de SL(n,K) à celles qui ne sont pas dans SL(n,K).

- Par contre, en dimension paire, je ne vois pas de lien direct entre le nombre de symétries dans SL(n,K) et le nombre de symétries dans GL(n,k)...