X^n+x^(-n) entier (mais en fait aucun rapport...)

[Nightmare]

C'est vrai que pour les espaces métriques ça non ?

Edit : pour les espaces dans lesquels chaque point admet une base de voisinages dénombrable plutôt je dirais.

Le sens inverse (la donnée des fonctions continues => la donnée des suites convergentes) est vraie dans les espaces séparable, le sens direct que j'ai énoncé est vrai partout par contre.

[Judoboy]

Q(V(2)) c'est Q(racine(2)) ? C'est quoi la topologie des codénombrables, c'est quand les fermés sont les parties dénombrables de R ?

[Nightmare]

C'est .

La topologie des codénombrables, que j'aurais dû appeler des co-au-plus-dénombrables est celle où les fermés sont les parties finies ou dénombrables.

[Judoboy]

Ok mais je vois pas où est le contre-exemple puisque pour R avec la topologie discrète toutes les fonctions sont continues ce qui ne m'a pas l'air d'être le cas pour R avec la topologie codénombrable (si j'envoie les réels positifs sur 1 et les réels négatifs sur -1 j'ai ne fonction qui n'est pas continue).

Et je dirais que pour ça

Le sens inverse (la donnée des fonctions continues => la donnée des suites convergentes) est vraie dans les espaces séparable, le sens direct que j'ai énoncé est vrai partout par contre.

du coup c'est l'inverse, ce qui me rassure puisqu'on a beaucoup plus de fonctions que de suites dans les espaces non séparables.

Non ?

[Nightmare]

Oui, tu as raison c'est bien le sens inverse, et du coup le contre-exemple marche pas car les espaces sont pas séparables (et ta fonction n'est bien pas continue).

Bon, retour à zéro.

[Judoboy]

Pour le Q(racine(2)) et Q(racine de (3)), je vois l'isomorphisme (j'envoie 1 sur 1 et racine(2) sur racine(3)) ; si la topologie est induite par la topologie usuelle de R c'est pas un homéomorphisme parce que ça va faire n'importe quoi quand on regarde les images des intervalles ouverts par exemple, mais je vois pas comment le montrer.


Après l'isomorphisme entre Q(racine(2)) et Q(racine de (3)) est unique : une fois que j'ai balancé 1 sur 1 je dois envoyer racine(2) sur racine(3) (ou -racine(3) mais ça revient au même), du coup ça va pas être possible de trouver un isohoméomorphisme (je préfère isoméomorphisme, il existe ce terme ?) c'est ça ?

[Judoboy]

Up. J'ai pas trop de nouveautés à apporter mais je viens de tomber là-dessus par hasard : http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_s%C3%A9quentiel

[Nightmare]

Je ne connaissais pas l'appellation "espaces séquentiels".

Concernant Q(V(2)) et Q(V(3)) : Ils sont isomorphes en tant que groupes, tous les deux étant isomorphes à Q².

Ils sont homéomorphes en tant qu'espaces topologiques comme toutes les sous-parties denses et dénombrables de R.

Pour montrer qu'ils ne sont pas isomorphes en tant que groupes topologiques (je ne crois pas qu'il existe de terme particuliers), il faut faire ce qu'on fait habituellement avec les morphismes continus de R :

si f : G->H est un isomorphisme continu, f(r)=rf(1) pour tout rationnel r et par continuité f envoie V(2) sur V(2)f(1) qui ne saurait être un élément de H.

:happy3: