Défi géométrique 2

par **Imod** » 01 Juil 2007, 10:34

Un petit défi très simple et sans calcul .

Une statue de 2m de hauteur est posée au sommet d'une colonne de 10m de haut . Où doit-on se placer ( au sol ) pour voir la statue sous un angle maximal ?

Imod

par **jaky12** » 01 Juil 2007, 13:35

Bonjour à tous , je suis nouveau sur le forum.
Tout dabord je tiens à préciser que j'ai résolu ce défi avec des calculs or dans l'énoncé il est indiqué "sans calculs" ^^ mais bon nous allons voir si les calculs amènent toujours à la bonne réponse

Pour commencer nous avons la possibilité de former deux triangles restangles:
http://www.web-images.org/images/6698_colone1.jpg

Nous pouvons écrire:
tan(A1)=10/x ->A1=Arctan(10/x)
tan(A2)=12/x ->A2=Arctan(12/x)
A=A2-A1=Arctan(12/x)-Arctan(10/x)

Comment trouver A max?? dérivons A!

*d(Arctan(U))=U'/(1+u²)*

d(arctan(12/x))=-12/(x²+144)
d(arctan(10/x))=-10/(x²+100)
-------------------------------->A'=-12/(x²+144)+10/(x²+100)
résolvons A'=0:
A'=0
-12(x²+100)+10(x²+144)=0
-2x²+240=0
D=1920
rac(D)=8 rac(30)
a1=-2rac(30)
a2=2rac(30)

Prenons le résultat positif car nous parlons de longueur ^^
donc:
La distance ou il faut se placer pour avoir l'angle max est 2rac(30) =10.95m
Rq: a cette distance, langle est de 5.21°

Cette reponse convient-elle ?

Merci

par **emdro** » 01 Juil 2007, 14:47

Géométriquement,

Dans le plan vertical contenant:
*le pied de la statue P
*la tête de la statue T
*l'observateur M

On cherche à maximiser l'angle PMT.
On construit le cercle circonscrit à PMT, de centre O.
O est sur la médiatrice de [PT]

L'angle PMT vaut la moitié de POT. On veut donc maximiser POT. Cela se produit lorque P est au plus près de (PT), tout en contenant encore un point du sol (M).
Dans cette situtation, le rayon est 11m (socle+1/2 statue)
Donc la distance est racine(11²-1²) soit effectivement 2racine(30).

L'avantage est qu'on peut le construire facilement et s'en sortir sans aucun calcul.

par **jaky12** » 01 Juil 2007, 14:51

En effet c'était fesable sans calcul :) mais le calcul permet tout de meme d'apporter une précision aux valeurs ( de 5cm ) ^^

par **emdro** » 01 Juil 2007, 14:53

@Rain',

de manière générale, effectivement si le socle mesure l et socle+statue L,

le même raisonnement donne:

Donc

encore une intervention de la moyenne géométrique...

par **emdro** » 01 Juil 2007, 14:55

jaky12 a écrit:En effet c'était fesable sans calcul mais le calcul permet tout de meme d'apporter une précision aux valeurs ( de 5cm ) ^^

On ne trouve pas tous les deux

?

par **jaky12** » 01 Juil 2007, 15:02

hum si désolé je n'avais pas fais attention ^_^ :ptdr:

par **Imod** » 01 Juil 2007, 16:52

Bravo à tous ( j'avais utilisé la même méthode qu'emdro ) , sauf que je n'ai pas bien compris comment était construit le point au sol : comment construire la moyenne géométrique de 10 et 12 ? D'ailleurs la même construction permet de découper un rectangle quelconque en trois pour réaliser un carré avec les morceaux .

Imod

par **emdro** » 01 Juil 2007, 16:58

@Imod,

tu traces la médiatrice de [PT].
Le rayon du cercle doit être la distance du sol au milieu (nombril?!) de la statue.
Tu traces le cercle de centre P avec ce rayon. Il coupe la médiatrice à la verticale de l'endroit où doit se placer l'observateur.

Je connaissais ce truc avec un joueur de foot qui essaie d'avoir l'angle maximal avec le but. Mais comme je déteste le sport, j'adopte ta statue :happy2:

par **Imod** » 01 Juil 2007, 17:06

Tout à fait !!!

Imod

par **Imod** » 01 Juil 2007, 17:42

Pour résumer , on vient de trouver un moyen simple de construire la moyenne géométrique de deux nombres ( c'est sûrement connu depuis très longtemps ) .

Imod

par **emdro** » 01 Juil 2007, 18:48

En général, on construit la moyenne géométrique l'aide de la relation h²=ab dans un triangle rectangle:

Dans un triangle rectangle en A, si le pied de la hauteur issue de A est H,
alors AH²=HB.HC

Défi géométrique 2

Défi géométrique 2

construction de la moyenne géométrique

Qui est en ligne