Arithmétique du triangle rectangle

[Zweig]

Salut,

Deux questions indépendantes.

1) Montrer que si le rayon du cercle inscrit à un triangle de côtés entiers
est , alors ce triangle est rectangle.

2) Montrer que si un triangle rectangle a ses côtés entiers, alors il en est de même pour le rayon de son cercle inscrit.

[Ericovitchi]

Ca commence sûrement par r=2S/(a+b+c)
et S= avec p=(a+b+c)/2

donc en fait r=

donc tu dis que si r=1 donc que 4 p(p-a)(p-b)(p-c)=(a+b+c)²
ça entraîne que c²=a²+b²

bon il va falloir creuser tout ça et faire de l'arithmétique

[Zweig]

Salut,

Comme tu l'as montré on a : r = S/p, donc si r =1, alors S = p, soit (p-a)(p-b)(p-c)=p

En fait il faut montrer que la seule solution entière de cette équation est (a,b,c) = (3,4,5) (on vérifie sans peine que ce triangle est bien rectangle ... :briques:).

[Imod]

Pour continuer le développement de Zweig , on pose x=p-a , y=p-b et z=p-c , on a alors xyz=x+y+z avec x , y et z entiers . On obtient facilement par encadrements :x=3 , y=2 et z=1 .

Imod

[Zweig]

Ouep, c'est ça :zen:

[Ben314]

Salut,
Pourquoi p=(a+b+c)/2 est-il entier ?

[Zweig]

En faisant une disjonction de cas sur la parité de a, b et c dans l'équation obtenue, on montre qu'on a soit 3 entiers pairs soit deux entiers impairs et un pair ; dans tous les cas, p est donc bien entier

[Lacouille]

Il faut faire une disjonction

[Imod]

Une intervention à moitié stérile :)

Imod