Du rectangle au carré

[nodgim]

Il semblerait que la découpe totale soit égale à 2 mais ma figure n'est pas une démonstration :hum:



Imod

C'est bien 2, oui. Reste à savoir pourquoi. Et, quand la réponse sera trouvée, on aura la réponse pour un tas d'autres valeurs que rac2.

[Imod]

C'est bien 2, oui. Reste à savoir pourquoi. Et, quand la réponse sera trouvée, on aura la réponse pour un tas d'autres valeurs que rac2.

Sur le dessin 2 apparaît mais de façon très cachée . Il y a sûrement moyen de disposer les morceaux plus intelligemment :marteau:

Imod

[nodgim]

Sur le dessin 2 apparaît mais de façon très cachée . Il y a sûrement moyen de disposer les morceaux plus intelligemment :marteau:

Imod

Je n'ai pas trouvé la solution par la géométrie, bien que je trouve le petit dessin assez parlant. Que n'ai je donné en exemple un nombre rationnel! :hum: c'eut été plus facile à trouver.

[ninjasam]

J'ai compris pourquoi 2, c'est parce que à chaque découpage, on découpe ce qui dépasse du bord droit et du bord haut du carré.
On s'arrange pour qu'un coup sur 2 ça dépasse à droite et l'autre coup ça dépasse en haut.

[Imod]

Attention, il n'a pas été dit que la longueur demandée était une valeur minimale. C'est seulement une valeur bien définie, et, apparemment, ce serait la seule valeur qu'on puisse définir avec certitude.

Il me semble quand même que 2 doit être la valeur minimale même si la preuve n'est pas complètement évidente .

Imod

[ninjasam]

En y repensant la solution n'est pas du tout unique. Il y a toujours un rectangle à remplir dans le coin en haut à droite. On a toujours deux possibilités de placer une pièce. Soit elle dépassera en haut soit elle dépassera à droite. Au final on aura couper 2 dans tous les cas.

[reday]

soit c la longueur du coté du caré qd cherche.
en appliquant le théorème de Pitagore on a:

c^2+(c/2)^2=R^2 avec R est le rayon du demi cercle.

=> ( 5/4)*c^2=R^2

=> c=2R/(racine de 5)

c'est pourtant facile!

[nodgim]

Il me semble quand même que 2 doit être la valeur minimale même si la preuve n'est pas complètement évidente .

Imod

Peut être, oui, sûrement même.
Sinon, pour la solution, pourquoi ne pas essayer avec un rectangle rationnel, genre 5/2 * 2/5 par exemple, et regarder ce qui se passe ?

[nodgim]

Solution:
Au lieu de rac2 choisissons une valeur approchée, 141/100.
carré:(1,1) rectangle (141/100, 100/141)
Découpons le rectangle: (100/100, 100/141)+(41/100, 100/141)
Le 1er rectangle est mis sur le carré, il reste à couvrir: (100/100, 41/141) et on a opéré une découpe de 100/141.
(41/100,100/141)=(41/100,41/141)+(41/100,59/141) découpe: 41/100
on couvre et il reste: (59/100,41/141)
reste (41/100,59/141) pour couvrir (59/100,41/141)
puis (41/100,18/141) pour couvrir (18/100,41/141) découpe:41/100
puis (23/100,18/141) pour couvrir (18/100,23/141) découpe:18/141
puis (5/100,18/141) pour couvrir (18/100,5/141) découpe: 18/141
puis (5/100,13/141) pour couvrir (13/100,5/141) découpe: 5/100
puis (5/100,8/141) pour couvrir (8/100,5/141) découpe:5/100
puis (5/100,3/141) pour couvrir (3/100,5/141) découpe: 5/100
puis (2/100,3/141) pour couvrir (3/100,2/141) découpe:3/141
puis (2/100,1/141) pour couvrir (1/100,2/141) découpe: 2/100
puis (1/100,1/141) pour couvrir (1/100,1/141) découpe: 1/141

Longueur totale de des découpe: 140/141+99/100

Comme rac2 peut être approchée par une fraction infinie, la découpe totale vaut 2.

[Imod]

nodgim ,

tu veux dire que si le rectangle d'aire 1 a des cotés rationnels la découpe est inférieure strictement à 2 et qu'elle est égale à 2 dans le cas contraire ?

Imod

[nodgim]

nodgim ,

tu veux dire que si le rectangle d'aire 1 a des cotés rationnels la découpe est inférieure strictement à 2 et qu'elle est égale à 2 dans le cas contraire ?

Imod

Oui. Il n'y a qu'à observer l'algorithme, chaque ligne est issue de la précédente par une différence entre les numérateurs, un peu à la manière de cet algorithme des différences successives entre 2 nombres premiers.