Construction d'un triangle rectangle

[Oli1]

Cette question concerne la construction d'un certain type de triangle rectangle dont l'un des côtés serait constitué uniquement par la somme de deux nombres entiers.

Soit un triangle A, B, C. Considérons la hauteur H de ce triangle ayant son pied dans le segment BC. Pour tout triangle rectangle que nous construisons, le segment AH est la moyenne proportionnelle des deux segments BH et HC. Cela signifie donc que BH / AH = AH / HC, que AH =√BH * √HC ou que AH² = BH * HC.

Tous les triangles rectangles sont régis par un coefficient de proportionnalité K, tel que BH / K = AH et AH / K = CH. Cela signifie également que BH / HC = K².

Cela m'amène à deux questions :

- Sachant que la hauteur AH du triangle est un nombre décimal, existe-t-il une méthode qui permettrait de calculer un ou des coefficients de proportionnalité K (eux aussi nécessairement décimaux) afin de produire uniquement des couples de nombres entiers pour les segments BH et HC ?

- Serait-il possible de calculer le nombre de couples de nombres entiers possibles que l'on peut former à partir d'une hauteur quelconque combinée à tous les coefficients de proportionnalité K possibles, ou bien le problème n'admet-il qu'une seule et unique solution de couple de nombres entiers ?

Par exemple si ma hauteur fait 40,95119046, par quelle méthode pourrais-je déterminer un coefficient de proportionnalité qui permettra de produire un couple de nombres entiers pour les deux segments BH et HC ?

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

La condition nécessaire évidente est que soit un entier N, et les solutions (BH,CH) sont les couples (d,N/d) où d est un diviseur de N.

[Oli1]

Oui il s'agit bien d'une condition en effet mais pas d'une méthode permettant de déterminer de telles valeurs.

[GaBuZoMeu]

Bah, il suffit d'appliquer un algorithme de factorisation d'entier.
Par exemple, l'algorithme bête consistant à tester tous les entiers inférieurs à AH pour savoir s'ils divisent AH² (en supposant que ce dernier est entier).