Du rectangle au carré

[nodgim]

Quelle longueur totale de découpes permet de transformer un rectangle de cotés rac(2) et 1/rac(2) en un carré 1*1 ?
Les 2 parties séparées par une découpe doivent être des rectangles.

En principe, on va normalement commencer par découper un rectangle de 1*1/rac2. Mais je vous laisse finir et mesurer....

Bon amusement.

[nodgim]

Pas de panique pour ce problème, il pourrait être classé dans les quickies...

[Imod]

Il m'a fallu un moment pour comprendre ce que tu voulais dire , mais je crois que ça y est . J'ai compris mais je n'ai pas la solution :hein:

Imod

[scelerat]

J'ai une solution de longueur 2, je ne vois pas comment on pourrait montrer qu'elle serait minimale, peut-etre par des considerations d'angles a l'intersection avec les bords ?

[Imod]

Quelqu'un d'autre a-t-il cherché ?

On voit bien étape par étape quelle coupe faire . Il y a semble t-il un nombre infini de coupes pour une longueur totale finie !!! Ca sent la grosse astuce mais je ne la vois pas :hein:

Imod

[Anonyme]

Moi je trouve ça simple, si j'ai bien compris.
Alors la première coupe, c'est lorsque le coté rac(2) devient 1 donc on 1*1/rac(2).
La deuxieme : on coupe le 1/rac(2) en 2 et devient rac(2) donc on a 1*rac(2)
La troisieme : on coupe le rac(2) pour en faire 1 donc on a 1*1

Résultat la longueur de coupe est de 1/rac(2) +2 :zen:

C'est bon ou pas ?

[Imod]

C'est vrai qu'il est tard mais vraiment j'ai rien compris :triste:

Imod

[nodgim]

Moi je trouve ça simple, si j'ai bien compris.
Alors la première coupe, c'est lorsque le coté rac(2) devient 1 donc on 1*1/rac(2).
La deuxieme : on coupe le 1/rac(2) en 2 et devient rac(2) donc on a 1*rac(2)
La troisieme : on coupe le rac(2) pour en faire 1 donc on a 1*1

Résultat la longueur de coupe est de 1/rac(2) +2 :zen:

C'est bon ou pas ?

Couper 1/rac2 en 2 ne fait pas rac2 :marteau:
Il faut imaginer qu'on a 1 carré 1*1 et 1 rectangle rac2 et rac2/2 en papier, qu'on découpe aux ciseaux une partie du rectangle et qu'on la colle sur le carré, et ce jusqu'à ce que il ne reste rien du rectangle et que le carré soit entièrement recouvert. Contrainte: la coupure doit donner 2 rectangles, autrement dit le coup de ciseau est parallèle à un coté et va en ligne droite.

[Patastronch]

ce problème est passé récemment dans je ne sais plus qu'elle partie du forum, et la démonstration est dans la lignée des démonstrations Imodienne :)

[Anonyme]

Couper 1/rac2 en 2 ne fait pas rac2 :marteau:

Ben soit je suis con ou alors très fatiguer mais 1/rac(2) revient a dire rac(2)/2 donc si on divise par 2 et ben j'ai dit une grosse connerie désolé, il se fait tard aussi, mais je continue a chercher :marteau: :marteau: :marteau: :marteau:

[Anonyme]

Heu si je dis pas de bétise :hum: (pas encore !) et bien 1/rac(2) < 1 donc c'est impossible !!!
Voili voilà voilou, le poteau rose est découvert !!

On ne peut pas diminuer un coté 1/rac(2) en 1 :marteau: :marteau: :marteau:

[Patastronch]

Ben soit je suis con ou alors très fatiguer mais 1/rac(2) revient a dire rac(2)/2 donc si on divise par 2 et ben j'ai dit une grosse connerie désolé, il se fait tard aussi, mais je continue a chercher :marteau: :marteau: :marteau: :marteau:

Non c 'est rac(2) divisé par 2 qui fait 1/rac(2), et non 1/rac(2) divisé par 2 qui fait rac(2).

[Patastronch]

Heu si je dis pas de bétise :hum: (pas encore !) et bien 1/rac(2) < 1 donc c'est impossible !!!
Voili voilà voilou, le poteau rose est découvert !!

On ne peut pas diminuer un coté 1/rac(2) en 1 :marteau: :marteau: :marteau:

Le problème a une solution. Ton pot aux roses ( et non le poteau ! :we: ) refourgue le à un fleuriste ca aura plus de succès !

Comme je le disais ce probleme etait deja passé, et il en sortait que tous rectangle de surface A peut se transformer par une unique technique simple (mais astucieuse) en un carré de surface A.

[Anonyme]

Le problème a une solution. Ton pot aux roses ( et non le poteau ! :we: ) refourgue le à un fleuriste ca aura plus de succès !

Comme je le disais ce probleme etait deja passé, et il en sortait que tous rectangle de surface A peut se transformer par une unique technique simple (mais astucieuse) en un carré de surface A.

Houlaaaa, je comprends de moins en moins, car je croyais avoir découvert le pot aux roses ( :zen: )
Donc si on découpe un rectangle, on peut le recoller pour faire ton carré en 1*1 car je me répète mais 1/rac(2)<1 donc comment transformer un rectangle de coté 1/rac(2) en un coté de 1 :doh: :doh:
:mur: :mur: :mur: :mur: :mur: :mur: :mur: :mur: :mur: :mur: :mur: :marteau:

[Imod]

Comme je le disais ce probleme etait deja passé, et il en sortait que tous rectangle de surface A peut se transformer par une unique technique simple (mais astucieuse) en un carré de surface A.

Je connais en effet un problème classique où l'on découpe un rectangle en trois morceaux pour faire un carré ( la construction est aisément réalisable à la règle et au compas ) . Mais là les morceaux doivent être des rectangles et le découpage que j'ai amorcé semble se poursuivre indéfiniment

Imod

[nodgim]

Je connais en effet un problème classique où l'on découpe un rectangle en trois morceaux pour faire un carré ( la construction est aisément réalisable à la règle et au compas ) . Mais là les morceaux doivent être des rectangles et le découpage que j'ai amorcé semble se poursuivre indéfiniment

Imod

C'est vrai que le découpage se prolonge indéfiniment; Cependant la longueur de ces découpes atteint une limite bien stable quand on s'y prend d'une certaine manière. Quelle est cette limite et comment procéder pour l'atteindre?
Il y a bien entendu d'autres solutions si on procède au hasard, mais alors on ne connait pas la limite.

[Imod]

C'est vrai que le découpage se prolonge indéfiniment; Cependant la longueur de ces découpes atteint une limite bien stable quand on s'y prend d'une certaine manière....

Je suis d'accord mais je n'ai pas encore trouvé ( je sens que je ne suis plus très loin :fire2: )

Imod

[Imod]

Il semblerait que la découpe totale soit égale à 2 mais ma figure n'est pas une démonstration :hum:



Imod

[ninjasam]

Ce problème est beaucoup plus compliqué qu'il en a l'aire.

Je n'ai pas la solution mais voici mes conclusions actuelles:

I - Supposons un "puzzle" qui découpe le rectangle R1 qui, en arrangant les pièces différemment, donne le rectangle R2.
I1 Avec les mêmes pièces nous pouvons donc passer de R2 vers R1.
I2 La longueur du découpage pour passer de R1 vers R2 est égal à la ([somme des périmètres des pieces] - [Périmètre de R1])/2.
La longueur du découpage pour passer de R2 vers R1 est égal à la ([somme des périmètres des pieces] - [Périmètre de R2])/2.

Donc pour l'un des 2 problèmes passez du carré au "A4" ou passez du "A4" au carré la solution n'est pas "2".
Je pense du coup que la solution pour ces deux problèmes est plus complexe.


II Je pense qu'on peut faire l'hypothèse qu'après chaque découpage/collage, La partie en dehors du carré est rectangle et la partie manquante au carré aussi.

Donc après chaque Découpage/Collage on a deux rectangles :
R1: cotés x1, y1 (x1 rectangle a remplir
R2: cotés x2, y2 (x2 rectangle qui dépasse

Nous avons pour constante x1*y1=x2*y2

Exemple : au début le rectangle à remplir vaut 1-1/R2 x 1 et le rectangle qui dépasse vaut 1/R2 x R2-1

Deux cas peuvent se présenter :
- x2>x1 (dans ce cas y2 y1)

et il y a ensuite tout le temps 2 possibilités de découpage/collage. (V figure)


si x2>x1 R2 est rouge et R1 est vert. Après déplacement le rouge vert est la surface comblé, le vert seul correspond au nouveau R1 et le rouge seul correspond au nouveau R2.
si x1>x2 R2 est vert et R1 est rouge. Après déplacement le rouge vert est la surface comblé, le vert seul correspond au nouveau R2 et le rouge seul correspond au nouveau R1

j'admets que ce n'est pas très clair mais en faisant un effort je suis sure que vous comprendrez.

La solution dépend très probablement du choix de la branche. En effet, j'ai une solution avec l'un des choix de découpage ou la longueur du découpage vaut +infinie.

Voila où je suis bloqué : Comment choisir la branche qui minimise la longueur du découpage.
Je pense qu'il faut rendre (R1 ou R2) ou (R1 et R2) le plus carrés possibles. Il est également possible qu'il faille maximiser la surface comblé/longueur du découpage (optimisation locale qui ne garantie pas l'optimisation globale).

J'aimerais bien savoir si je suis complètement à côté.

[nodgim]

Attention, il n'a pas été dit que la longueur demandée était une valeur minimale. C'est seulement une valeur bien définie, et, apparemment, ce serait la seule valeur qu'on puisse définir avec certitude.