Arithmétique

[Nightmare]

Salut à tous,

je vous propose un exercice abordable par tous :

Montrer que si est premier alors n est une puissance de 3

Amusez-vous bien !

[Zweig]

Salut,

Une ébauche :

On pose . En raisonnant modulo 3, en montre que si , et si est premier, alors est impair (on traite à part le cas ), i.e, , avec , impair.

Or remarquons la factorisation suivante :



(plus généralement, )

Ainsi n'est premier que si ou (comme le second facteur est > 1). Ces deux équations n'admettant aucune solutions (comme est impair), alors nécessairement .

Manque plus qu'à montrer que est une puissance de 3. Je continue de chercher.

[Zweig]

Salut,

Finalement, j'ai trouvé une solution qui me semble correcte (j'ai supprimé l'ancien message qui faisait tâche).

Nous allons nous servir de ce lemme :



Soit la plus grande puissance de 3 divisant , i.e, s'écrit . On a alors :



D'après notre lemme, cet entier est divisible par , qui est un entier clairement différent de 1. Or est par hypothèse premier, d'où l'unique possibilité :



Soit , i.e, et . Par suite, est bien une puissance de 3.

[Nightmare]

Salut Zweig !

C'est bien ce que j'ai trouvé à peu de choses près.

[ffpower]

bon,bah pour le coup,j ai envie de dire:lool
http://maths-forum.com/showthread.php?t=94373

[Nightmare]

Au temps pour moi, je l'avais pas vu :cry: Zweig non plus apparemment, je ne suis pas le seul a avoir pris des vacances !