Exo d'olympiade en arithmétique

par **sandrine_guillerme** » 23 Sep 2006, 17:28

Bonjour
voici un problème sur l'arithmétique posé en 1998
Trouver tous les couples (a,b) d'entiers strictement positifs tels que tels que

divise

Bon courage :zen:

par **BiZi** » 23 Sep 2006, 18:37

Déjà posé :--:

par **BancH** » 23 Sep 2006, 18:47

Peux-tu donner le lien stop ?

par **sandrine_guillerme** » 23 Sep 2006, 18:49

Ah bon?
Ok
Déterminer tous les couples (n,p) d'entiers strictement positifs tel que p est un nombre premier

et

est divisible par n^(p-1).
Bon courage !

par **BiZi** » 23 Sep 2006, 19:22

le lien

Pour ton exo il reste plus qu'à réfléchir^^

par **BancH** » 23 Sep 2006, 19:23

Merci pour le lien.

par **oss007** » 29 Sep 2006, 06:02

bonjour Sandrine

peux-tu indiquer la provenance de cet exercice (le second): année, pays ?
et aussi une piste pour démarrer ?
merci

par **sandrine_guillerme** » 01 Oct 2006, 12:32

Oula! excuse moi oss007 j'avais pas fais attention, en fais je croyais que l'exo n'etais pas intéréssant c pour ça que je venais pas vérifié bon en tout cas si tu parle de cet exercice ..

sandrine_guillerme a écrit:Déterminer tous les couples (n,p) d'entiers strictement positifs tel que p est un nombre premier et est divisible par n^(p-1).
Bon courage !

oss007 a écrit:la provenance de cet exercice : année, pays ?

alors la date de l'olympiade c'était 16-17 juillet 1999 à Bucarest (Roumanie) et l'exercice a été proposé par le Taïwan

oss007 a écrit:et aussi une piste pour démarrer?

Oui alors tu remarque s'il y en a des solutions évidente (comme pour chaque exo) .. et essayer de donner le cas général .. et discuter les cas selon que p pair ou impair ..
Sinon il y a une autre méthode celle avec la congruence ..

J'espère que j'étais assez clair (?)

Bon courage

par **BancH** » 01 Oct 2006, 12:48

Déjà on montre facilement que

est impair:

n'est pas solution, alors

et

par conséquent

donc

par **sandrine_guillerme** » 01 Oct 2006, 14:39

Bien vu :++:

par **BancH** » 01 Oct 2006, 16:59

Oui mais ça aide pas tellement.

On peut le finir seulement avec la congruence ton exo ?

par **sandrine_guillerme** » 01 Oct 2006, 19:17

tu peux le finir avec la congruence seulement ou bien essayer la 1ere méthode elle est assez rapide elle consiste en effet sur ce que tu avais dis après voir quand p est pair .. etc elle est assez rapide crois moi :)

A+

par **oss007** » 04 Oct 2006, 07:49

Bonjour,
merci pour les références , et merci aussi d'avoir relancé cet exercice .
Tous les exercices sont intéressants ,principalement ceux des Olympiades.

par **sandrine_guillerme** » 04 Oct 2006, 14:09

De rien

Voulez vous la réponse ?

par **oss007** » 04 Oct 2006, 17:48

pourquoi pas?
merci

par **BancH** » 04 Oct 2006, 18:59

En tout cas moi je bloque.

par **BancH** » 04 Oct 2006, 19:46

J'ai peut être une piste:

Généralement,

|

par **BancH** » 04 Oct 2006, 19:57

Tout couple

de la forme

est solution.

Mais c'est juste une condition suffisante.

par **sandrine_guillerme** » 06 Oct 2006, 01:02

Salut

Voici je vous donne la réponse là ..
on voit facilement que (1,p) est une solution.
si p=2 et n>1 alors on obtient n=2 donc la paire (2,2) est aussi une solution. Supposons maintenant que p>=3 donc (p-1)^n +1 est impair et par suite n est impair et par conséquent n=2p est impossible donc n<2p !

(ça va jusque la ?) :zen:

Soit q le plus petit nombre premier divisant n , on a donc pgcd(n,q-1)=1 par le théorème de Bézout il existe (a,b) dans Z^2
an+b(q-1)=1 .

On a par hypothèse q|(p-1)^n + 1 c'est à dire (p-1)^n

-1 (mod q) , comme q est impair alors q-1 est pair et donc a est impair donc on obtient :
p-1 = (p-1)^(an+b(q-1))

(-1)^a (1)^b

-1 (mod q)
Par suite q|p et comme p est premier alors q=p, on a donc p|n et n<2p, d'où n=p. utilisons l'hypothèse une autre fois pour obtenir p^(p-1)|(p-1)^p +1.

en développant le polynôme (p-1)^p et en utilisant le fait que

et en travaillant (mod p^3) on obtient p^2

0 (mod p^3) CE QUI EST ABSURDE !

Donc p-1<=2, c'est à dire p<=3 et en fait p=3 . ce qui donne une nouvelle solution (3,3) .

Finalement l'ensemble des solutions est (1,p), (2,2) , (3,3) .

ça va ?

par **yos** » 08 Oct 2006, 10:35

BancH a écrit:Tout couple de la forme est solution.

Mais c'est juste une condition suffisante.

Comment tu veux avoir une égalité pareille avec p premier?

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