Arithmétique : nombres premiers et divisibilité

[BiZi]

Avec le théorème de densité des nombres premiers c'est également trivial :zen: :ptdr:

[ffpower]

Ouais lol.dans le cas 1 je crois que ya une solution pas trop dure,le cas -1 che pas

[lapras]

Oui c'est vrai ce n'est pas une solution tres glorieuse : j'utilise simplement un théoreme tres puissant tres difficile a démontrer a ce qu'il parait.
Mais j'ai aussi une démonstration plutot longue qui ne demande aucune connaissances je la posterai ce soir.

[namfoodle sheppen]

en fait je crois que le cas modulo p avec p premier est possible pour le théorème de dirichlet ....

[aviateurpilot]

j'ai fait la meme chose que ffpower
mais j'ai fait aussi une autre solution long mais jolie

supposons que est non vide.
soit
on a est premier
donc
on prend alors la suite tel que et


donc

le nombre de ferma est premier (culture general , lol)
si
alors car
et on a qui doit etre premeir (absurde)

si
ou et on peut tjrs trouver tel que ou (car les premiers sont infini)
ce qui donnera l'absurdité

donc est vide

[ffpower]

Joli en effet

[Imod]

En voilà un très amusant :

On sait tous que :

- Tout nombre entier possède un multiple qui ne s'écrit qu'avec des chiffres 1 et des 0 ( en base 10 ) .

- Si cet entier n'est divisible ni par 2, ni par 5, il possède un multiple qui ne s'écrit qu'avec des chiffres 1 .

Sauriez-vous montrer que toute puissance de 2 possède un multiple ne s'écrivant qu'avec des 1 et des 2 ?

Bon courage :we:

Imod

[lapras]

salut aviateurpilot la démonstration élémentaire et longue dont je parlais n'est autre que la tienne, on a fait la même a peu de choses pres.
Bravo encore c'est tres beau.

[aviateurpilot]

salut aviateurpilot la démonstration élémentaire et longue dont je parlais n'est autre que la tienne, on a fait la même a peu de choses pres.
Bravo encore c'est tres beau.

ils ont utilisé ??
mais pour la remarque de est n'est pas tres tres caché

- Tout nombre entier possède un multiple qui ne s'écrit qu'avec des chiffres 1 et des 0 ( en base 10 ) .

on prend
on prend
il exists forcement tel que
donc est un multiple de

- Si cet entier n'est divisible ni par 2, ni par 5, il possède un multiple qui ne s'écrit qu'avec des chiffres 1 .

dans ce cas
et donc est un multiple de

Sauriez-vous montrer que toute puissance de 2 possède un multiple ne s'écrivant qu'avec des 1 et des 2 ?

(ce probleme est deja posté,et j'ai deja posté une solution ,la voilà)

soit la proprieté "il exists tel que ne contient que des 1e te des 2 et pair ou bien "
donc vrai
supposons que est vrai
il existe donc un tel que ne contient que des 1 et des 2.
si est paire multiple de ne contient que des 1 et des 2 et
si est impaire multiple de ne contient que des 1 et des 2.
et
donc est vrai.

(j'ai utilisé le fait que pour que avec )

[lapras]

Oui j'ai utilisé la transformation mais je n'ai pas fait F4
En fait si (a, b) est un couple de E, alors
PGCD(a, b) = 1
et tout diviseur premier de a et de b est < 1000
or on construit par la transformation (a, b) -> (a² + b², 2ab)
apres on peut prouver tres facilement que PGCD(a_i , a_j) = 1 si i différent de j et que la suite des a_i est strict. croissante.
c'est impossible puisque tout diviseur premier de a sont < 1000
:happy2:

[Imod]

Bien vu Aviateur , je pensais l'exercice original . A peine une heure pour trouver solution c'est vraiment trop peu :cry:

Imod

[lapras]

Soit n >= 1 un entier. Prouver que parmi 2n 1 entiers,
on peut toujours en trouver n dont la somme est divisible par n.

Bon courage :happy2:

[ThSQ]

Bon courage :happy2:

Ouais là il en faut ....

( je connais et c'est pas trivial )

[lapras]

C'est un lemme d'erdos. :ptdr:
Oui c'est pas évident !

[ThSQ]

C'est un lemme d'erdos. :ptdr:
Oui c'est pas évident !

En général Erdös rime avec pas évident (et joli !) :ptdr:

[lapras]

je vais essayer de donner des indices car c'est vrai que c'est un exercice plutôt chaud...
-Montrer que si c'est vrai pour n et m alors c'est vrai pour m*n
-Montrer que c'est vrai pour tout n = p premier
:we:

[Ruch]

Merci pour les indices lapras, pour le moment, je n'ai trouvé qu'une réponse plutôt littéraire à la 1ère étape (indice, il faut considérer les 2nm -1 entiers, puis enlever les n entiers de départ et étudier les 2mn-1-n qui restent. Après, il faut utiliser le pgcd...).

Par contre, je n'arrive pas à prouver pour n=p premier.

[lapras]

Ok c'est ca pour la 1ere étape...
Fait une démonstration claire maintenant :happy2: (tu as évoqué les PGCD j'attend que tu développes un peu ^^)