Donner moi quelque exo d'arithmetique svp

[aviateurpilot]

salut tt le monde
quelqu'un à des exo d'arithmetique d'olympiad?
svp

[aviateurpilot]

Merci par avance pour vos réponses.

[aviateurpilot]

:briques: :briques:
je croyais que vous avez beaucoup d'exo pour moi

[aviateurpilot]

:cry: :cry:

[robin]

Soient deux entiers et [tex]k \geq 1[tex] avec k impair. Montrer que :
[tex] \

[robin]

Soient deux entiers et avec k impair. Montrer que :
est divisible par .
Par contre, je ne me souviens pas de la source.

[aviateurpilot]

si k impair
alors est divisible par

je vais pas montrer ca car c'est tres facile
donc quelque soit i
est divisible par et est divisible par (*)

donc
d'apres (*) 2S est divisible par et par
donc 2S est divisible par car

S est divisible par

merci pour ce exo
donne moi un autre (arithmetique)

[robin]

Soit un nombre premier . Prouver que si :
[tex] \

[robin]

Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5. Prouver que si :
[tex] \

[robin]

Ok.
Soient a and b des entiers positifs tels que divise pour tout entier n. Montrer que a=b.

[aymanemaysae]

Ok.
Soient a and b des entiers positifs tels que divise pour tout entier n. Montrer que a=b.

J'ai supprimé la solution que j'avais proposée, parce qu'elle était fausse suite à une mauvaise lecture de l'énoncé.
Mille excuses.

[Ben314]

A mon sens, il est même sous entendu "...pour tout entier naturel non nul n" (donc pas non plus de n négatif qui donnerais des a^n+n et des b^n+n non entiers et sur lesquels la notion de divisibilité continue à exister, mais devient nettement moins pertinente)

[Ben314]

On suppose . Pour tout on pose et et l'hypothèse signifie qu'il existe tel que .

[MMu]

Soient deux entiers strictement positifs :
Montrer que où partie entière de .
:zen:

[Ben314]

Si on considère les points du quadrillage , au total il y en a , en dessous (au sens large) de la droite d'équation il y en a idem au dessus (au sens large) pour des raison de symétrie et, en ajoutant les deux, on a compté deux fois ceux qui sont sur la droite et il y en a .
(au détails prés : j'ai cours dans 3 minutes...)

[Ben314]

Effectivement, il semble que le "détail", c'est qu'il manque un 2 devant ta somme...

Sinon, je suis assez "sec" sur le précédent :

Soient a and b des entiers positifs tels que divise pour tout entier n. Montrer que a=b.

[Matt_01]

Imod ou toi avait posté un problème similaire, mais avec "+1" au lieu de "+n", qui avait donné pas mal de fil à retordre.
Ca pourrait peut être servir de revoir cette solution.

[Losange]

Prouver que l'équation admet une infinité de solutions avec , , , et entiers strictement positifs.

[Matt_01]

Prouver que l'équation admet une infinité de solutions avec , , , et entiers strictement positifs.

Sauf erreur :
On note le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à p, excluant 2.
Pour , b=, , avec k entier, l'équation donne, avec :
.
Mais
Ainsi ssi .
Or l'inverse de 11 dans Z/13Z est 6.
Ainsi pour k =-6 = 7 modulo 13, on a bien , ce qui assure l'existence d'une racine 13ème (e).
Il y a bien sur une infinité de tels k, ce qui assure l'infinité de solutions.

[Losange]

Sauf erreur :
On note le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à p, excluant 2.
Pour , , , avec k entier, l'équation donne, avec :
.

Peut-être ai-je raté une étape de votre raisonnement, mais il me semble que

Peut-être vouliez-vous dire x=4 ?

Mais

Je trouve que c'est congru à 7 et non à 11, mais peut-être ai-je commis une erreur de calcul ?