Arithmétique : fibonacci

par **Zweig** » 06 Mai 2008, 14:25

Des formules à démontrer ....

* Formule de Binet :

* Formules de sommation :

Formule de Cesaro :

* Propriétés arithmétiques

Si

divise

, alors

divise

Soient

et

deux entiers strictement positifs. On a alors :

par **Imod** » 06 Mai 2008, 14:58

Le problème du mois du site de Regina est pas mal non plus :

Pour quels entiers positifs peut-on écrire n! comme une différence de carrés de deux entiers ?

Imod

par **Zweig** » 06 Mai 2008, 15:18

A première vue, pour tout n pair ?

par **Zweig** » 06 Mai 2008, 15:34

Pour tout

?

Clairement,

et

sont de même parité avec

. Ainsi, pour

, il suffit de prendre

et

. On en tire alors

et

.

Lorsque

, alors

,

On voit facilement que lorsque

, les deux facteurs ne peuvent être de même parité, et donc qu'il est impossible de trouver deux entiers a et b.

par **Imod** » 06 Mai 2008, 16:15

En effet , bien vu :++:

Imod

par **lapras** » 06 Mai 2008, 16:26

salut,
pour la formule de binet :
c'est l'équation caractéristique d'une suite récurrente, et je n'ai surement pas le niveau pour démontrer ca.
Pour la propriété arithmétique :
supposons m divise n
alors
n = m*k
Fn = Fm*(a^(k-1) + (a^k-1)*B + .... + ^*B^(k-2) + B^(k-1))
avec a = (1+sqrt(5))/2
B = (1-sqrt(5))/2
faut montrer que u_k = (a^(k-1) + (a^k-1)*B + .... + ^*B^(k-2) + B^(k-1)) est un entier
on le fait par récurrence
vrai pour k
pour k+1
u_(k+1) = a^k*(1-B) + B^k*(1 - a) + a*B*u_k
or a*B est entier
u_k est par hypothese de récurrence entier
donc
a*B*u_k entier
aussi on peut montrer que pour tout i entier
((1+sqrt(5))/2)^i + ((1-sqrt(5))/2)^i est un entier
ce qui acheve la démonstration par récurrence

par **ffpower** » 06 Mai 2008, 19:56

la formule de Binet tu peux facilement la démontrer par reccurence,pas besoin de connaitre la theorie des suites reccurentes quand on te donne le resultat^^

par **lapras** » 06 Mai 2008, 20:00

Oui bien sur par récurrence mais moi je raisonne comme si on me donnais
Un+2 = a*Un+1 + bUn
pour trouver Un en fonction de n.
Je veux dire fibonnaci n'est qu'un exemple de suite récurrente d'ordre 2.

par **Matt_01** » 06 Mai 2008, 20:06

Pour ce genre de suite, le terme général peut-être déduit, et ce même avec nos connaissances :

avec

J'avais cherché ce résultat suite à un exercice d'annales.
On considère plusieurs égalités et le résultat découle

Après, pour l'ordre 2 c'est autre chose ... ^^

par **ffpower** » 06 Mai 2008, 20:20

Ouais,mais en fait la théorie des suites reccurentes n est pas bien compliquée:
Ici,par exemple,si on cheche le suites qui vérifient

,on résout x²=x+1,qui a 2 racines,

et

...de

on en déduit que

pour tout n donc

vérifie la relation de reccurence.de meme pour

,et donc pour tout a,b,

vérifie aussi la relation de récurrence.Apres il suffit de choisir a et b pour avoir les conditions initiales souhaitées(Dans le cas de Fibonnacci,on veut F0=0 et F1=1)

par **lapras** » 06 Mai 2008, 20:22

salut
désolé erreur de frappe
c'est
Un+2 = aUn+1 + bUn
Bien sur le cas
Un+1 = aUn + b est tres simple on considere
Vn = Un + b/(1-a)
alors
Vn+1 = aVn
donc Un = V0*a^n + b/(a-1)

par **lapras** » 06 Mai 2008, 20:24

ffpower > Oui bien sur c'est tres simple de voir que a*r1^n + b*r2^n est UNE solution, encore faut il prouver que c'est la seule.
On m'a dit que c'était difficile, mais je pense que non puisque la suite est déterminée par ses valeur initiales.
Si on a trouvé UNE suite qui correspond alors puisque la suite est déterminée il n'y a que cette suite de solution.

par **ffpower** » 06 Mai 2008, 20:27

C est exactement ca,une fois que t as les 2 premieres valeurs la suite est entierement défine,donc pas de prob^^.C juste un peu plus compliqué quand l equation du second degré n a qu une seule solution..

par **lapras** » 06 Mai 2008, 20:39

Ok
Mais on m'avait dit qu'il fallait passer par un espace vectoriel etc... mpour la théorie des suites récurrentes.
Pourquoi ?

par **ffpower** » 06 Mai 2008, 20:57

Pour le fun,je dirai^^...On peut dire que l ensemble des suites verifiant u(n+1)=un+u(n-1) est un espace vectoriel de dimension 2,dont une base est constituée des suites r1^n et r2^n,mais c pas extraordinairment utile.Ceux qui t ont dit ca ont du se faire lessiver le cerveau par la prepa lol..

par **venousto** » 22 Juil 2009, 22:17

je suis con nu sur le net
sans leurre
tu est desheuré
il faut des neoyer tinb machin

par **Timothé Lefebvre** » 23 Juil 2009, 02:52

Bonjour venousto,

tes dernieres interventions sont un peu etranges, incomprehensibles, serait-il possible que tu cesses d'ecrire ce genre de messages ? Merci.

par **Timothé Lefebvre** » 23 Juil 2009, 02:54

Bonjour venousto,

je te rappelle a l'ordre une derniere fois concernant tes interventions, arrete de polluer ce forum avec tes messages inutiles (pour ne pas dire autre chose).
Il n'y aura plus d'autre avertissement.

Pour info, voici l'historique de ses messages : [url="http://www.maths-forum.com/search.php?searchid=1256046"]http://www.maths-forum.com/search.php?searchid=1256046[/url] [lien out comme me le fait remarquer ffpower]

par **ffpower** » 23 Juil 2009, 03:02

Que venousto se calme?Dans la vie,t es plutot un optimiste timothé non? :we:
Sinon,le lien ne marche pas..

par **Timothé Lefebvre** » 23 Juil 2009, 03:03

Ouais je suis optimiste d'habitude mais bon la trop c'est trop.

Pour son histo, clique sur son pseudo puis sur "trouver plus de messages".

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