Donner moi quelque exo d'arithmetique svp

[Matt_01]

Oui pardon x=4.
Par contre je retrouve bien la même congruence (attention ce n'est pas une factorielle).

[Losange]

Après revérification je retrouve bien la même congruence que vous. Du coup tout marche bien.

[Ben314]

Soient a and b des entiers positifs tels que divise pour tout entier n. Montrer que a=b.

Je pense que j'ai une solution :
Soit un nombre premier strictement plus grand que et que et .
Comme on a ce qui implique (par hypothèse) que donc que soit encore (où désigne évidement l'inverse de modulo )
Sauf qu'on a aussi et que donc en fait c'est à dire et, comme est strictement plus grand que et que , cela signifie que

[aymanemaysae]

Si on considère les points du quadrillage , au total il y en a , en dessous (au sens large) de la droite d'équation il y en a idem au dessus (au sens large) pour des raison de symétrie et, en ajoutant les deux, on a compté deux fois ceux qui sont sur la droite et il y en a .
(au détails prés : j'ai cours dans 3 minutes...)

Je tiens d'abord à vous remercier d'avoir soulevé cette question qui m'a permis d'avoir une autre possibilité d'obtenir le PGDC de deux entiers naturels ou relatifs, ensuite j'espère enrichir ce forum en vous orientant vers une autre démonstration de la formule de Marcelo Polezzi, que vous trouverez à la troisième page du document attaché au lien suivant : http://gery.huvent.pagesperso-orange.fr/irem/exos_arithmetique.pdf . De plus, le document en question est très intéressant vu la qualité des exercices qu'il contient.
Bonne lecture aux intérressés.

[Ben314]

Je suis un soupson septique concernant le "nom" de la formule (comme quasi tout le temps en ce qui concerne les théorème auquel on donne un nom...).
L'article dit "Cette formule a été trouvée par Marcelo Polezzi en 1997"
Sauf que je suis certain de m'en être déjà servi plusieurs fois lorsque j'était étudiant : Si j'ai répondu dans les 5 minutes suivant la lecture du post, c'est que l'avais déjà fait. (sauf erreur, une des nombreuse preuve concernant la "loi de réciprocité quadratique" utilise plus ou moins ce fait résultat)
Le "petit" problème, c'est que j'ai (quasi) 50 balais et que j'était étudiant dans les années 80...


EDIT : Effectivement, si tu arrive a avoir accés à cette publi. :
JFM 46.0188.06 Stieltjes, T. J. "Sur la loi de réciprocité de Legendre" (Oeuvres complètes 2, 567-573)
datant de 1918, tu verra que Marcelo polezzi n'a pas franchement inventé la lune...
La seule différence, c'est que Stieljes voit le résultat sous forme "géométrique" (i.e. en regardant la diagonale d'un rectangle) ce qui rend le résultat assez évident par rapport à la preuve proposée par le PDF.
C'est la plus jolie preuve (à mon sens) de la loi de réciprocité quardatique : elle n'utilise quasiment... rien...

[MMu]

Je suis un soupson septique concernant le "nom" de la formule (comme quasi tout le temps en ce qui concerne les théorème auquel on donne un nom...).
L'article dit "Cette formule a été trouvée par Marcelo Polezzi en 1997"
Sauf que je suis certain de m'en être déjà servi plusieurs fois lorsque j'était étudiant : Si j'ai répondu dans les 5 minutes suivant la lecture du post, c'est que l'avais déjà fait. (sauf erreur, une des nombreuse preuve concernant la "loi de réciprocité quadratique" utilise plus ou moins ce fait résultat)
Le "petit" problème, c'est que j'ai (quasi) 50 balais et que j'était étudiant dans les années 80...


EDIT : Effectivement, si tu arrive a avoir accés à cette publi. :
JFM 46.0188.06 Stieltjes, T. J. "Sur la loi de réciprocité de Legendre" (Oeuvres complètes 2, 567-573)
datant de 1918, tu verra que Marcelo polezzi n'a pas franchement inventé la lune...
La seule différence, c'est que Stieljes voit le résultat sous forme "géométrique" (i.e. en regardant la diagonale d'un rectangle) ce qui rend le résultat assez évident par rapport à la preuve proposée par le PDF.
C'est la plus jolie preuve (à mon sens) de la loi de réciprocité quardatique : elle n'utilise quasiment... rien...

Quelle idée de lire de si vieux livres :lol3: Any way
La démo de Polezzi a été publiée en 1997 dans une revue relativement sérieuse (American Mathematical Monthly) avec referees et tout ..
Et sa démo est comme celle de Stieljes ..
Par ailleurs il semblerait que Polezzi est mort en 2007 (assassinat ??!!) , j'espère que ce n'est pas à cause des maths .. :bad2:
Mais quand en France on nomme th d'Al Kashi , un résultat déjà connu d'Euclid, je ne m'étonne plus de rien .. :zen:

[Ben314]

Mais quand en France on nomme th d'Al Kashi , un résultat déjà connu d'Euclide, je ne m'étonne plus de rien .. :zen:

Moi non plus, mais... ça me gonfle quand même...
Et ce qui me gonfle le plus, c'est que d'un coté, y'a de plus en plus de mecs (historiens) qui constatent par exemple que le triangle dit "de pascal", ben on le trouve chez les chinois plus d'un millénaire plus tôt et que c'est du même acabit pour les 3/4 des théorèmes "avec nom".
Et de l'autre coté y'a d'autres mecs (les chercheurs) pour qui la carrière, c'est de plus en plus UNIQUEMENT le nombre de publi. donc de regarder si ce que tu publie, ça aurait pas, par hasard, été déjà fait (par exemple avant que tout soit informatisé), ben c'est clairement une perte de temps...
Sans parler de la grande mode consistant à mettre des noms sur les formules/théorèmes : dans le forum supérieur, pour les truc un peu compliqué, quasi une fois sur deux, faut que je cherche sur google pour savoir qu'est ce que le gars veut dire par "la formule de untel" ou "le théorème de machin" pour me rendre compte que c'est un truc que j'utilise tout le temps, mais qui, à mon époque, portait pas de nom particulier... (Y'a évidement Al Kashi, mais c'est loin d'être le seul...)

A titre d’anecdote, y'a quelques temps, j'ai vu une publi. (mais dans un truc franchement moins bien coté que A.M.M) d'un... cas particulier d'un théorème déjà démontré par je sais plus qui du début du 20em siècle et en plus... la preuve était fausse... (ça concernait le fait d'essayer de "suivre" les racines d'un polynômes dont les coeff. sont des fonctions continue/dérivable/C^1/... d'une variable t : tout se passe bien lorsqu'il n'y a pas de racines multiples, mais ça se complique quand elles se "coupent"...)

[MMu]

Je pense que j'ai une solution :
Soit un nombre premier strictement plus grand que et que et .
Comme on a ce qui implique (par hypothèse) que donc soit encore (où désigne évidement l'inverse de modulo )
Sauf qu'on a aussi et que donc en fait c'est à dire et, comme est strictement plus grand que et que , cela signifie que

Bravo :king2: (je suivais une autre piste qui pour l'instant ne donne rien :mur:)
:zen:

[Ben314]

Quelle idée de lire de si vieux livres :lol3: Any way
La démo de Polezzi a été publiée en 1997 dans une revue relativement sérieuse (American Mathematical Monthly) avec referees et tout.

Je sais pas si ça interesse qui que ce soit, mais concernant le "théorème de Polezzi", y'a un collègue qui vient de m'envoyer ça : http://denise.vella.chemla.free.fr/trad-Eisenstein-misunderstood.pdf
Les calculs datent de 1844 (Eisenstein) et si on regarde le dessin du haut de la page 3 et les formules associées de la forme , y'a quand même une ressemblance... frappante...

bon, O.K., ce n'est pas "mot à mot" la même chose : il y en a un qui démontre la loi de réciprocité quadratique et l'autre une formule "originale" de calcul du pgcd, ce qui n'est pas tout à fait... du même niveau...


Edit : les sommes de la forme apparaissent déjà dans la 3em preuve de Gauss (donc vers 1820) mais sans la vision géométrique qui permet de voir immédiatement qu'elles donnent le pgcd.

[jonses]

Soient a and b des entiers positifs tels que divise pour tout entier n. Montrer que a=b.

Soient n, a et b des entiers positifs non nuls.

Supposons , donc donc .

Je vais paraitre très décalé, mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi c'est une contradiction si on suppose

Est-ce que quelqu'un peut m'aider svp

[Losange]

Je suppose que dans le texte du problème vous vouliez considérer n non nul .

Je crois que non, vu que le cas n=0 ne change rien (il est trivialement toujours vrai).
Je pense par contre que l'énoncé parle de n entier naturel.

Je vais paraitre très décalé, mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi c'est une contradiction si on suppose

Est-ce que quelqu'un peut m'aider svp

Idem pour moi.

[aymanemaysae]

Bonne remarque! La réponse que j'ai donné au problème est fausse. Le problème en question est en fait un problème qui figure dans la "Shortlist 2005" proposé par M. Mohsen Jamali, d'Iran.

Le lien du document est le suivant : http://www.imomath.com/pcpdf/f1/f38.pdf , et la réponse qui est la réponse officielle, se trouve dans la page 741.

Si vous n'avez pas le temps de chercher cette page, voici la solution comme je l'ai copiée par un "copier-coller" qui est certes de mauvaise qualité:

Assuming b &=a (ça veut dire b différent de a), it trivially follows that b>a. Let p>b be a prime number and let n= (a+1)(p;)1)+1.We note that n;)1(mod p;)1)and n;) a(mod p). It follows that:
r^n = r·(r^(p;)1))^(a+1);)r(mod p)for every integer r. We now have a^n+n;)a;)a=0(mod p). Thus, a^n+n is divisible by p, and hence by the condition of the problem b^n+n is also divisible by p. However, we also have b^n+n b;)a (mod p), i.e., p | b;)a, which contradicts p>b. Hence, it must follow that b = a. We note that b = a trivially ful;)lls the conditions of the problem for all a;) N.

D'autres propositions de solutions se trouvent sur la page web dont le lien est comme suit:

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=466215&sid=b78d125c3c6390be2b8a240ec2ae748c#p466215

Une fois encore, je m'excuse pour mon inadvertance.

[aymanemaysae]

Bravo :king2: (je suivais une autre piste qui pour l'instant ne donne rien :mur:)
:zen:

Bravo! Votre réponse m'a émerveillé, surtout qu' il n' était pas évident d'arriver à bon port avec ce problème de la "Shortlist 2005" dont la solution est citée dans le "The IMO Compendium" à la page 741.
C'était très difficile. Encore une fois : Bravo.

[aymanemaysae]

Avant tout, Bonne année avec mes vœux de réussite. Ensuite, pour la question n° 1 et plus précisément pour le cas : 0 [m/n] et [m/n]+1>1, j'ai pris un petit cas particulier pour lequel m=7 et n=3 et qui remplit les conditions requises, c-à-d 0<(n=3)<(m=7) et (m/n=7/3) > ([m/n]=2) et ([m/n]+1=3)>1, mais comme résultat j'ai trouvé PGCD(m=7,n=3) = 1 différent de m+n - mn = 10 - 21 = -11.
J'espère que ce n'est qu'une erreur de frappe ou plutôt de saisie.

[aymanemaysae]

Si on doit obtenir [m/n]+1>l , alors il faut corriger l'énoncé où il y a [m/n]+1>1 au lieu de [m/n]+1>l .

[aymanemaysae]

Merci pour les éclaircissements.

Ensuite, jéspère que vous m'excuseriez pour mes petites remarques qui n'ont pour but que de valoriser l'effort que vous avez consenti pour produire ses douze exercices.

De ma part j'ai beaucoup travaillé dessus, et j'éssaierai de donner pas à pas mes propositions de solutions.

Pour la première question, démontrer que PGDC(m;n) = m + n - mn revient à démontrer que la somme Sigma est nulle (j'ai écrit Sigma parce que je ne sais pas introduire le code Latex dans cet éditeur: quelle honte!), et puisque l = m -1, je crois qu' on peut omettre d'inclure la condition m>(l=m-1) qui est évidente.
Donc, suite à ces remarques, et pour le cas n° 1 où n = 1, on a PGDC(m;n)=1 et par la formule de Polezzi on a: 1 = m + 1 - m * 1 + 2 * Sigma <--> 0 = 2 * Sigma <--> Sigma = 0.

Pour le cas n° 2 où (0 (l=m-1)), on a m = [m/n] * n, c-à-d PGDC(m;n) = n. On a aussi m/n > m - 1 <--> m > (m-1) * n <--> m/(m-1) < n <--> 1 + 1/(m - 1) > n <--> 1/(m-1) > n -1 <--> 1 > n - 1 (puisque 1/(m-1) est inférieur ou égal à 1) <--> 2 > n <--> 1 (> ou égal à) n <--> n = 1, donc comme pour le cas n° 1, on a Sigma = 0.

Pour le cas n° 3 où (0 [m/n]) et ([m/n] + 1 > (l=m-1)), on a:
m - 2 < [m/n] < ou égal à m/n < [m/n] + 1 <--> n < ou égal à m/(m -2) : on a pu diviser par (m-2) car si m = 2, on a n = 1, donc pour la condition (m/n > [m/n]) <--> (2 > 2), résultat absurde, donc m > 2 c-à-d m supérieur ou égal à 3 . Donc n < ou égal à (1 + 2/(m-2)) <--> n < ou égal à 1 <--> n = 1, donc comme pour les cas n° 1 et n° 2, on a Sigma = 0.

J'éspère que le chemin que j'ai suivi est le bon chemin: je vous serai reconnaissant -en cas d'erreur- de corriger mes fautes, celà me fera très plaisir.

Pour les autres exercices, et en guise de reconnaissance pour vos efforts, je vais m'y mettre incessament.

Bonne nuit!

[aymanemaysae]

Pour cet exercice, on a : (0 [m/n]) et ([m/n] + 1 = (l = m - 1).

Ces conditions sont équivalentes à: ( 1 < ou égal à n et 2 < ou égal à m) et ([m/n] + 2 = m) et m> [m/n] n <--> [m/n] + 2 > [m/n] n <--> 2 > [m/n] (n - 1) <--> 1 >ou égal à [m/n] (n -1) <--> ([m/n] (n -1) = 1 ou [m/n] (n -1) = 0) <--> ([m/n] = 1 et (n - 1) = 1) ou n = 1 : on ne peut pas avoir n = 1 car ([m/1] + 2 = m <--> m + 2 = m <--> 2 = 0 : résultat absurde).

Donc on a ([m/n] = 1 et (n - 1) = 1) <--> n = 2 et [m/2] = 1 <--> n = 2 et (m = 3 ou m = 2 : on ne peut pas avoir m = 2 car n < m) <--> n = 2 et m = 3.

Donc PGDC(m;n)= m + n - m n + 2 car PGDC(3;2) = 1 et m + n - m n + 2 = 3 + 2 - 3 * 2 + 2 = 1.

Une petite remarque: résoudre cet exercice revenait aussi à démontrer que Sigma = 1.

A la prochaine!