Arithmétique

par **lapras** » 04 Jan 2009, 21:29

Bonsoir,
1)Montrer que la somme des chiffre de

peut devient infiniment grande.
2)Soit une suite de

termes :

tels que :

:
(i)

(ii)

(iii)

(iiii)

Montrer que

Bon courage (le premier est plus difficile mais ca va)

par **skilveg** » 04 Jan 2009, 21:48

Il me semble que l'on peut faire commencer une puissance de 2 par n'importe quelle suite de chiffres, ce qui donne une idée pour la première...

par **lapras** » 04 Jan 2009, 21:53

Tu es sur ?
(pour moi commencer c'est de droite à gauche)
déja le 0 , 5 , 7 , 9 ne peut pas apparaitre à droite de la puissance de 2

par **ThSQ** » 04 Jan 2009, 22:14

lapras a écrit:1)Montrer que la somme des chiffre de peut devient infiniment grande.

Tiens, toi qui cherchais un exo velu : mq que

(avec S(a) = somme des chiffres en base 10)

Et effectivement on peut trouver une puissance de deux commençant (quand on lit les nombres de gauche à droite ...) par n'importe quoi.

par **lapras** » 04 Jan 2009, 22:26

ThsQ : j'ai déja prouvé cette limite.

par **kazeriahm** » 05 Jan 2009, 00:41

Je comprends pas l'énoncé de la question 2. Faut-il supposer l'une des hypothèses ou toute en même temps ? Dans le premier cas c'est faux et dans le deuxième certaines sont redondantes...

par **lapras** » 05 Jan 2009, 06:58

j'ai mis a_i appartient à N au lieu de a_i appartient à Z désolé.
toutes les hypotheses sont a prendre en compte.

par **ThSQ** » 05 Jan 2009, 18:15

lapras a écrit:ThsQ : j'ai déja prouvé cette limite.

Mmm, pourquoi proposer un exo qui donne un résultat moins fort alors ?

par **nodgim** » 05 Jan 2009, 19:02

lapras a écrit:Bonsoir,
1)Montrer que la somme des chiffre de devient infiniment grande.

Soit S la limite supposée de la somme des chiffres et n le nombre de chiffres de 2^n.
S/n tend vers 0 quand n tend vers l'infini. On est alors obligé d'admettre que 2^n va comporter de plus en plus de zéros, et une raréfaction des autres chiffres. Or les chiffres différents de zéros ne peuvent être isolés, car la multiplication par 2 fait grandir les nombres isolés. Les zéros ne sont pas non plus à droite, il n'y a pas de 5. Mais alors il faut supposer des ilôts de chiffres différents de zéros entre des océans de zéros. Donc ces zéros sont créés au sein même de ces ilôts sans zéros. Donc les ilôts se multiplient, mais on sait qu'ils ont une valeur minimale ,celle qu'on connait . Donc il y a bien paradoxe.

par **Doraki** » 05 Jan 2009, 19:30

Une preuve idiote :
Je me souviens avoir montré un jour que la somme des chiffres d'un multiple de an = (10^n-1) était un multiple de 9*n.
(c'était pour montrer que la somme des chiffres de n! tend vers l'infini)

Comme an est impair, le petit théorème de fermat dit que 2^(phi(an))-1 est un multiple de an.
Comme le pire qui puisse arriver à la somme des chiffres d'un nombre quand on enlève 1 est d'être baissé de 1 aussi,
je trouve donc que la somme des chiffres de 2^(phi(an)) vaut au moins 9*n-1.

Mais ça montre pas que ça tend vers l'infini.

L'exercice 2 est marrant.

par **leon1789** » 05 Jan 2009, 19:41

ThSQ a écrit:Tiens, toi qui cherchais un exo velu : mq que (avec S(a) = somme des chiffres en base 10)

Salut

on a même n/2 < S(2^n)

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