Arithmétique

[aviateur]

Bonjour
Voici une petite énigme :
Soient trois réels a,b,c vérifiant:

On pose et

Pour p et q fixés, qu'elles sont les valeurs possibles de r? En particulier, à quelle(s) condition(s) r est le plus petit possible, le plus grand possible?

[ffback]

On veut trouver r extremal tel que le polynome soit á racines réelles. J'imagine qu'il faut regarder quand est-ce que le discriminant est nul. Je n'ai cependant pas en tete la formule du discriminant des polys généraux de degré 3.

[aviateur]

Bonjour, oui pourquoi pas. Moi non plus je ne suis pas "très formule" mais cela devrait être facile à trouver.
Il suffit de penser à ce que doit vérifier la dérivée du polynôme.

[Ben314]

Salut,
On peut aussi regarder avec un bète niveau Lycée (et évidement on retrouve le discriminant) :
Si alors et, vu les tableaux de variations possibles, pour que ait trois racines réelles, il faut et il suffit que en ait deux (où ) et que .
Si on cherche une condition sur , ça signifie qu'il doit être dans l'intervalle

[aviateur]

Oui @ben c'est ça. Mais j'attends un peu plus. C'est à dire, en conclusion, à quelle condition sur a,b,c
on a r maximal ou minimal (lorsque p et q sont fixés).

[Ben314]

Ben c'est complètement immédiat : dire que "r est le plus petit possible", ça veut dire que tu doit translater ta courbe (celle de x->x^3-px+q) le plus possible vers le haut (à cause du - devant le r) tout en ayant 3 racines.
Et vu la forme de la cubique, le plus haut possible, c'est lorsque les deux dernières racines sont confondues : . De même dans l'autre sens, r est le plus grand possible lorsque .

[aviateur]

OK c'est ça