Arithmétique

par **Anonyme** » 26 Mai 2010, 06:48

Bonjour,

Dans le poly d'Animath d'arithmétique, il est écrit :

Soient x et y des entiers. Montrer que 2x+3y est divisible par 7 ssi 5x+4y l'est.
Et la réponse proposée : Supposons que 7 divise 2x+3y. alors 7 divise 6(2x+3y)-7(x+2y)=5x+4y.
Réciproquement : si 7 divise 5x+4y alors 7 divise 6(5x+4y)-7(4x+3y)=2x+3y.

Mais pourquoi si 7 divise 2x+3y, 7 divise 6(2x+3y)-7(x+2y)=5x+4y. ?

Merci !

par **beagle** » 26 Mai 2010, 07:56

Titux a écrit:Bonjour,

Dans le poly d'Animath d'arithmétique, il est écrit :

Mais pourquoi si 7 divise 2x+3y, 7 divise 6(2x+3y)-7(x+2y)=5x+4y. ?

Merci !

parce que 7 divise (2x+3y) et que 7 divise 7, faut pas regarder (x+2y)

par **Olympus** » 26 Mai 2010, 11:41

Bah la propriété appliquée est justement celle-ci , si a|b et a|c, alors a|ib + jc ( quelque soient i;j de Z ) .

Donc dans ton cas : a=7, b=2x+3y, c=7, i=6, j=-(x+2y) .

par **benekire2** » 26 Mai 2010, 16:12

ce qu'il faut voir c'est que si a divise b et c alors a divise toute combinaison linéaire de b et c c'est a dire a|kb+k'c avec k et k' arbitraires.

Petite question, pourquoi c'est posté dans olympiades :doh:

par **nodjim** » 26 Mai 2010, 16:50

Beaucoup plus simple: 2=-5 modulo 7 et 3=-4 modulo 7.
Donc 2x+3y équivaut à -5x-4y donc 5x+4y dans les conditions de divisibilité par 7.
Si un 2x+3y donne par exemple 3 modulo 7, 5x+4y donnera 4=-3 modulo 7.
Si 2x+3y donne 0 modulo 7, 5x+4y donnera 0 modulo 7.

par **Nightmare** » 26 Mai 2010, 16:57

nodjim a écrit:Beaucoup plus simple

Je n'en suis pas si sûr :lol3:

par **Olympus** » 26 Mai 2010, 17:21

benekire2 a écrit:ce qu'il faut voir c'est que si a divise b et c alors a divise toute combinaison linéaire de b et c c'est a dire a|kb+k'c avec k et k' arbitraires.

Petite question, pourquoi c'est posté dans olympiades :doh:

Il y a un an, cet exercice était une olympiade pour moi :zen:

Sinon, c'est peut-être parce que c'est tiré du pdf d'Animath qu'il l'a mis ici .

par **benekire2** » 26 Mai 2010, 18:04

Olympus a écrit:Il y a un an, cet exercice était une olympiade pour moi :zen:

Sinon, c'est peut-être parce que c'est tiré du pdf d'Animath qu'il l'a mis ici .

Quand on ne connait pas c'est sûr que ça parrait vite olympique. Après ... une fois qu'on connait on a plus trop le droit de trouver ça olympique :zen: Mais tu as raison, c'est surement parce que ça sort d'un poly d'animath :we:

par **kasmath** » 26 Mai 2010, 20:51

Titux a écrit:Bonjour,

Dans le poly d'Animath d'arithmétique, il est écrit :

Mais pourquoi si 7 divise 2x+3y, 7 divise 6(2x+3y)-7(x+2y)=5x+4y. ?

Merci !

==>

et

==>

alors

par **beagle** » 26 Mai 2010, 21:06

et aussi si 7 divise 2x+3y, alors 7 divise
5(2x+3y)-7(x+y)=3x+8y

sauf qu'on s'en fout de 3x+8y uniquement parce que c'est pas dans cet exo là.

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