~ [Guide] Développer et Factoriser ~

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Bonjour amis collégiens,

Vu le nombre de fils créés sur ces deux notions de base, je vous propose un récapitulatif des méthodes essentielles à acquérir au collège concernant le développement et la factorisation d'une expression littérale.

* désigne le signe "fois"

1. Pour Développer

Développer une expression signifie "transformer" un produit (une multiplication) en somme (addition).

Il suffit pour cela d'appliquer l'une des deux règles suivantes:

Règle 1:

Règle 2:

Exemples:

Développons et réduisons A et B:

A= x(2 + y)

B= (x + 2)(x - 3)
---


A = 2x + xy (d'après la règle 1)

B = x*x + x * (-3) + 2 * x + 2 * (-3) --> On développe, suivant la règle 2
B = x² - 3x + 2x - 6 --> On réduit
B = x² - x - 6

Remarque: Il est conseillé de ranger les termes obtenus par ordre décroissant de leurs degrés.
Les x² à gauche, puis les x et enfin le terme constant...

Attention:

Souvent, l'expression est donnée sous forme "semi-développée" (contenant des sommes et des produits). Il faut la développer entièrement, et donc ne laisser aucun produit.
N'oublions pas que le signe - placé devant des parenthèses change le signe des termes qu'elles contiennent.
Si vous rencontrez un produit précédé d'un - à développer, il vous faut placer des parenthèses intermédiaires.

Je m'explique.
On donne:


Pour développer C, on remarque un - avant un produit, on place donc des parenthèses intermédiaires:


Et on développe...

Il suffit ensuite de développer le premier terme et de supprimer les parenthèses en changeant le signe des termes.

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2. Pour Factoriser

Factoriser, c'est transformer une somme en produit. C'est la marche inverse d'un développement.

En général, c'est en remarquant un facteur commun que l'on peut commencer la factorisation.
Par exemple, en prenant l'expression utilisée précédemment,

A = 2x + xy

x est un facteur commun que l'on retrouve dans les deux termes.

Donc:

A = x (2 + y)


Le facteur commun peut être une somme, comme par exemple:

E = (x + 2)(x - 5) - (x + 2)(x - 1)

E = (x + 2) [(x - 5) - (x - 1)]
E = (x + 2) (x - 5 - x + 1)
E = (x + 2)(-4)
E = -4(x + 2)

Parfois, le facteur commun est caché, comme dans l'exemple suivant:


Il faut d'abord remarquer que 2x - 4 = 2(x - 2)
Donc:


Le facteur commun est alors (x - 2)

Attention !
Ne JAMAIS développer une expression pour la factoriser ensuite... car cela aboutit rarement !
Il faut essayer de trouver un facteur commun...


Si malgré tout vous ne voyez pas un facteur commun, pas de panique .. ! Vous verrez dans le post suivant comment trouver malgré tout une factorisation, même sans facteur commun apparent.

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3. Identités Remarquables

Dans la vie, trois formules sont à retenir. Ces trois identités sont indispensables...










ATTENTION:

Vous pouvez essayer avec a = 2 et b = 3
25, c'est pas 4 + 9 !

Et:


Bref, ces trois formules permettent de développer rapidement une expression, sans passer par des étapes intermédiaires trop encombrantes.

Exemple:

Développons:



Bon, on aurait pu tout simplement développer (y + 2)(y + 2) et s'en passer des formules à la noix, mais croyez-moi, pour des expressions plus "grosses", ces formules font la différence !!


Ces formules peuvent être utilisées pour factoriser des expressions qui paraissent difficiles.
Par exemple:

Factorisons:

On peut mettre P sous la forme:



Ça peut paraître insurmontable au début, mais c'est en s'exerçant qu'on y arrive !

C'est ainsi que les méchants profs du brevet vont essayer de pondre des expressions nécessitant une assimilation maximale du cours. Une expression méchante serait du style:


Deux astuces: on commence par factoriser ce petit groupe à droite qui parait bizarre...
On remarque que:



L'expression devient:



Il faut ensuite avoir l’œil, et remarquer que




Le facteur commun apparaît !

Une autre expression intéressante à factoriser:

>> en utilisant la troisième identité.
Ensuite, il suffit de réduire ce qu'il y a entre les parenthèses.


Certains professeurs n'acceptent que des expressions factorisées au maximum.
K = (2x + 4)(x - 8)
N'est pas factorisé au maximum !!!

Il faut ressortir le 2 de la première parenthèse...
K = 2(x + 2)(x - 8)

[Lostounet]

Si malgré tout vous n'arrivez pas à factoriser votre expression, c'est qu'elle nécessite des connaissances un peu (ou beaucoup) plus approfondies dans le domaine de la factorisation...
Ou vous devriez tout simplement lire votre cours, ça dépend...

Pour les petits curieux, essayez de factoriser:







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