Jolie inégalité

voici une superbe inégalite:
Montrer que pour tout x appartient à R on a :
x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x +3/4 >=0 :hein: :ptdr:

Bonsoir

Avec une étude de fonction bourrine (en dérivant 4 fois) on s'en sort plutot bien :happy3:

Tout à fait, ça marche !
Mais il doit y avoir une méthode plus élégante.

Thomas G :zen:

Sa dérivée seconde est convexe (vu que la dérivée 4éme est positive). Elle est donc au dessus de toute ses tangentes, on peut montrer qu'elle est au dessus d'une tangente d'équation y=a où a est positif ce qui montrera qu'elle est strictement positive, donc la fonction qu'on étudie est convexe et de même on pourrait montrer qu'elle admet une tangente horizontale au dessus de l'axe des y ce qui montrerait qu'elle est positive.

Ca a l'air d'être une jolie méthode Nightmare.
Bravo !

Thomas G :zen:

Autre méthode:

= ,

or est toujours supérieur à sa valeur minimale, obtenue en et cette valeur est .

Quant à , il est toujours supérieur à sa valeur minimale, qui est .

Donc est toujours plus grand que et au total

est bien positif.

tu as utilisé ça

si et
alors

c faux!!

contre exemple:
et


essaye encore avec ça:
:++:

tu dois introduire la condition que x est différent de -1...
ça peut marcher si on a essayé de majorer la fonction f(x)=(x^7+1)/(x+1) sur R :zen: :zen:

Mohamed a écrit:tu dois introduire la condition que x est différent de -1...

oui bien sure
j'ai oublié de le signaler :++:

aviateurpilot a écrit:c faux!!

Oui c'est vrai qu'en valeur absolue.

Donc voici la solution complète:

1) pour x en dehors de [0,1] on fait comme ci-dessus car x(x-1) est positif.
2) Pour on note que
et que
, qui est positif, est inférieur à 3.
Donc la valeur absolue est inférieure à 3/4 et par conséquent .

CQFD.

Bravo aviateurpilot et désolé pour l'erreur.