Quand préhistoire et maths font bon ménage...

[guillaume pz]

bonjour à tous,
voilà un néophyte qui participe pour la première fois à un forum, et qui espère sincèrement trouver une personne intéressée par ce problème... Pour la mise en contexte, je suis étudiant en préhistoire, travaille sur les cailloux, et aurais besoin de calculs de probabilité.

Voici le problème:
nous considérons un volume (un bloc de silex...) fragmenté en 40 morceaux (ou éclats) différents. L'opération consiste dès lors à remonter les éclats entre eux, sorte de puzzle en 3D. A partir de combien de tirages pouvons-nous être sûr que deux morceaux remontent entre eux? puis, sans remise en jeu, à partir de combien de tirages pouvons nous être sûr qu'un troisième morceau remonte sur les deux précédents, ou que deux autres soient remontés indépendamment?

Pour un premier calcul, considérons que tous les éclats partagent entre eux, une moyenne de 7 surfaces de contact.

Pour un second calcul, considérons un cas d'étude concret (un bloc fragmenté en 40 éclats), avec les combinaisons suivantes (attention c'est un peu long... je tiens à disposition le tableau récapitualitif pour qui le souhaite):
l'éclat n°1 remonte avec les éclats n°2 et 8
l'éclat n°2 remonte avec les éclats n°1, 3, 7 et 8
le n°3 avec le 2, 4, 7, 9, 10, 11
le n°4 avec le 3, 5, 7
le n°5 avec le 4, 6, 8
le n°6 avec le 5, 8 ,15
le n°7 avec le 2, 3, 4, 8, 9, 11, 12
le n°8 avec le 1, 2, 5, 6, 7, 9, 13, 15
le n°9 avec le 3, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 16
le n°10 avec le 3, 9, 11, 14
le n°11 avec le 3, 7, 9, 10, 12, 14, 17
le n°12 avec le 7, 9, 11, 13, 14, 17
le n°13 avec le 8, 9, 12, 14, 15, 16, 17
le n°14 avec 10, 11, 12, 13, 17, 18, 22, 28
le n°15 avec le 6, 8, 13, 16, 17, 19, 20, 21
le n°16 avec le 5, 9, 13, 15, 18, 21, 22, 27
le n°17 avec le 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 23, 25
le n°18 avec le 14, 16, 17, 21, 22, 25, 28, 32, 34
le n°19 avec le 15, 21
le n°20 avec le 15, 17, 21
le n°21 avec le 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 25, 27
le n°22 avec le 14, 16, 18, 21, 25, 27, 28,
le n°23 avec le 17, 21, 24, 26
le n°24 avec le 21, 23, 25
le n°25 avec le 17, 18, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 29
le n°26 avec le 21, 25, 27, 28, 29
le n°27 avec le 16, 21, 22, 25, 26, 28, 29, 30
le n°28 avec le 14, 18, 22, 26, 27, 29, 31, 32, 33
le n°29 avec le 25, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 36, 37, 40
le n°30 avec le 27, 29, 31, 36
le n°31 avec le 28, 29, 30, 32, 33
le n°32 avec le 18, 24, 18, 29, 31, 33, 34
le n°33 avec le 28, 31, 32, 34, 37, 38
le n°34 avec le 18, 32, 33, 38
le n°35 avec le 36, 37
le n°36 avec le 29, 30, 35, 37, 40
le n°37 avec le 29, 33, 35, 36, 38, 39, 40
le n°38 avec le 33, 34, 37, 39, 40
le n°39 avec le 37, 38, 40
le n°40 avec le 29, 32, 36, 37, 38, 39

Cela donne au total:
3 éclats ne partagent que 2 surfaces de contact ;
5 éclats en partagent 3;
5 éclats en partagent 4;
4 éclats en partagent 5;
5 éclats en partagent 6;
5 éclats en partagent 7;
8 éclats en partagent 8;
2 éclats en partagent 9;
2 éclats en partagent 10;
1 éclat en partage 12

voilà, je suppose qu'il doit manquer quelques infos alors je reste à votre dispo!
bon courage et merci beaucoup!

(le but de cet exo est de pouvoir estimer, en y associant d'autres critères, le Nombre Minimum de blocs taillés retrouvé ds un ensemble archéologique. Ce calcul est notamment pertinent pour les ensembles lithiques de petits effectifs, où les seules caractérisations de matières premières ne suffisent pas toujours... )
encore merci!

[Galt]

J'ai des questions :
Qu'entendez-vous exactement par remonter ?
Est ce que "remonte" signifie qu'il est absolument certain que les 2 éclats ont une face commune, ou que c'est seulement probable, voire possible ? Ou alors qu'ils peuvent provenir du même bloc ?

Dans le tableau qui suit, y a-t-il des chaînes ininterompues parmettant d'aller d'un éclat à tous les autres, avez-vous fait le graphe, ou bien doit-on le faire ?
Quand vous indiquez plusieurs possibilités, est-il possible qu'elles aient toutes lieu simultanément, où y en a-t-il qui s'excluent ?
Je ne comprends pas bien la question "A partir de combien de tirages peut-on être certain que 2 morceaux remontent entre eux ?"
Je suis intéressé par la situation, mais pour l'instant je ne vois pas bien la problématique.
A bientôt

[sept-épées]

pour la première question (la plus facile), je sais prouver que la probabilité de n'avoir tiré que des fragments sans rapport avec le premier au n ième tirage sans remise est p = (1-n/33)(1-n/34)...(1-n/39), donc si on veut rendre cette probabilité inférieure à E, il suffit de choisir n supérieur à

n0=39.(1-E^(1/7))

Désolé, je n'ai pas de calculatrice...

[palmade]

Bonsoir, le problème semble assez complexe, et je crois que seuls des algorithmes peuvent donner des solutions. Les données peuvent se représenter comme un graphe, que l'on peut présenter sous forme matricielle (ligne i colonne j ,=1 si connexion, =0 sinon)
Par exemple dans le second cas, pour déterminer le nombre maximum d'éléments non connectés, on peut partir d'un des éléments qui a le moins (2) de connexions, éliminer les élements qui s'y connectent, et itérer...
Attention, le premier cas n'est pas obligatoirement plus simple, parce que déjà je ne suis pas sûr qu'il existe; en effet, il suppose l'existence d'une matrice symétrique de dimensions 40x40, ayant sur chaque ligne 7 éléments égaux à 1 et les autres nuls...

[guillaume pz]

J'ai des questions :
Qu'entendez-vous exactement par remonter ?
Est ce que "remonte" signifie qu'il est absolument certain que les 2 éclats ont une face commune, ou que c'est seulement probable, voire possible ? Ou alors qu'ils peuvent provenir du même bloc ?

Dans le tableau qui suit, y a-t-il des chaînes ininterompues parmettant d'aller d'un éclat à tous les autres, avez-vous fait le graphe, ou bien doit-on le faire ?
Quand vous indiquez plusieurs possibilités, est-il possible qu'elles aient toutes lieu simultanément, où y en a-t-il qui s'excluent ?
Je ne comprends pas bien la question "A partir de combien de tirages peut-on être certain que 2 morceaux remontent entre eux ?"
Je suis intéressé par la situation, mais pour l'instant je ne vois pas bien la problématique.
A bientôt

- par remonter, j'entends deux éclats qui partagent une face commune, et dc qui recollent forcément. De fait, ils appartiennent à un même bloc d'origine
- je crainds de faire des contresens sur le concept "chaîne ininterrompu". aucun éclat ne permet d'aller à tous les autres (au max, 12 combinaisons possibles pr un éclat, le n°21). Je n'ai pas fait de graph, juste un tableau à double entrée qui précise les points de contacts partagés entre les éclats, et qui correspond au listing détaillé
- Quand il y a plsrs possibilités, il est possible qu'elles aient toutes lieux simultanément. Aucune exclusion n'est possible dans la mesure où tous proviennent d'un même bloc d'origine
- la question reformulée "à partir de combien de tirages est-on certain que deux morceaux remontent entre eux?", peut donner ceci: quand un bloc a été fragmenté en 40 morceaux, et que nous tirons au hasard deux éclats parmi ces 40 morceaux, quel est la probabilité pour qu'ils remontent, c'est à dire qu'ils partagent une surface de contact. Dans mon cas de figure, je cherche l'effectif minimal (7 éclats?) à partir duquel les tirages m'auront forcément permis de réaliser un remontage. Je cherche ensuite l'effectif minimal (sans retirage) à partir duquel un troisième éclat viendra remonter sur la précédente paire (donc un remontage de 3 éclats), et l'effectif minimal à partir duquel une deuxième paire sera forcèment présente.
Je reste à dispo pour de nouvelles questions. J'espère avoir un peu éclairci ce problème. N'hésitez pas à me recontacter!
merci

[guillaume pz]

Bonsoir, le problème semble assez complexe, et je crois que seuls des algorithmes peuvent donner des solutions. Les données peuvent se représenter comme un graphe, que l'on peut présenter sous forme matricielle (ligne i colonne j ,=1 si connexion, =0 sinon)
Par exemple dans le second cas, pour déterminer le nombre maximum d'éléments non connectés, on peut partir d'un des éléments qui a le moins (2) de connexions, éliminer les élements qui s'y connectent, et itérer...
Attention, le premier cas n'est pas obligatoirement plus simple, parce que déjà je ne suis pas sûr qu'il existe; en effet, il suppose l'existence d'une matrice symétrique de dimensions 40x40, ayant sur chaque ligne 7 éléments égaux à 1 et les autres nuls...

Pour le premier cas (7 surfaces de contact en moyenne), comment faire alors pour avoir une formule générale qui permette de changer les paramètres (nbre de surfaces de contact, nombre d'éclats par bloc), sans avoir à faire des calculs impossibles..
L'idée de ces "7 points de contact" est de présenter les principes du raisonnement (pour des préhistoriens..), et de pouvoir adapter ces calculs à d'autres cas de figure. Est-ce qu'il faudrait alors mener ce premier cas d'étude en établissant des classes (i.e. en fonction du nbre de surfaces de contact), comme celles présentées en fin de listing?
merci bcp!

[Galt]

Ce problème me semble hyper intéressant, mais pas facile du tout, du tout..
Il me rappelle ce qu'on appelle la théorie de Ramsay, qui a été étudiée entre autres par Erdos.
Je vais en parler dès que possible avec des copains qui font des maths discrètes, et j'y réfléchis.
A bientôt

[sept-épées]

je peux être à côté de la plaque, mais il me semble que ce que cherche notre ami archéologue, c'est une approximation lui permettant de déterminer, à partir du nombre de fragments retrouvés et de ceux qu'il a réussi à remettre ensemble, le nombre d'outils dont ils proviennent. Si c'est ce que je pense, inutile de se prendre la tête avec des théorèmes de combinatoire...

bon, je vous laisse, je vais aller compter les cailloux au musée de l'Homme :ptdr: