Soit la fonction x ---> (x+1) / (x^3 - 1). Soit Cf sa courbe représentative.
Étudier la position relative de Cf et de la tangente au point d'abscisse - 1 .
Je trouve comme tangente au point d'abscisse -1 : y = -1/2x - 1/2
On étudie pour la position relative f(x) - y.
On a (x+1) / (x^3 - 1) - ( -1/2x -1/2)
Je trouve sauf erreur de ma part (et je suis sûr qu'il n'y a pas d'erreurs).
x^4 + x^3 +x + 1 / (2(x^3 -1) )
Comment étudier le signe de cette chose ? lol.
Le problème, c'est comment étudier proprement le signe de x4 + x3 +x + 1 qui est toujours positif (ce que je constate avec ma calculatrice), il s'annule également en -1 mais bon c'est pas important.
Merci d'avance.
Objectif : Étudier le signe de x^4 + x^3 +x + 1.
Je propose d'étudier la dérivée seconde de cette expression là.
f' (x) = 4x^3 + 3x² + 1 .
f'' (x) = 12x² + 6x.
Étudions le signe de 12x²+6x pour avoir les variations de f'(x).
On calcul le discriminant etc... et on a un tableau de signe + variations de f '(x) .
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D'après le tableau de variation de f ' (x), on peut dire que :
f est continue et strictement monotone (croissante) sur ]-inf ; 1/2 ] .
0 appartient à ]-inf ; 5/4 ] = ] lim en -inf de f(x) ; f(1/2) ] donc d'après le théorème des valeurs intermédiaire, l'équation f(x) = 0 admet une solution alpha dans ]-inf ; 1/2 ] et une unique car 0 appartient pas à [1; 5/4] et [1; +inf[ .
Avec la calculatrice on peut donner une solution de cette équation, c'est x = -1.
On sait que f '(x) s'annule une fois en - 1.
Elle est négatif sur ]-inf ; -1[ car elle a comme lim en -inf , -inf et elle est croissante sur -inf ; -1, elle est donc forcément négatif.
Elle est positif sur [-1; +inf[ .
Tableau de signe de f' (x) et variations de f(x).
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Voilà d'après les variations de f(x), on sait qu'elle s'annule une fois en - 1 mais sur ]-inf; -1] elle est positif, car la fonction admet en -inf, +inf comme limite et elle descend vers 0 pour ensuite remonter vers +inf dans l'intervalle [ -1;+inf[.
Bilan elle est positif sur R.
Tableau de signe de f(x) - y et conclusion. Et là, j'ai vérifié avec ma calculatrice et c'est juste. :zen:
Tableau de signe de x^4 +x^3 +x + 1 / (2(x^3-1) )
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