1ère S dérivée et géométrie.

[poincaré]

bonjour, je suis en première S et je bloque un tout petit peu sur un DM de maths concernant les dérivées (et géométrie).

Voici le sujet :

ABCD est un carré de côté 1. Les points E et F appartiennent respectivement à la demi droite [Ax) et au segment [DC] et vérifient AE = CF. I est le point d'intersection des droites (AB) et (EF). on pose AE = x.

1 ) Mq AI= (x-x²)/(x+1)

Simple : Appliquer Thales dans le triangle DFE, ce qui donne EA/ED = AI/DF.
AI = (EA*DF)/ED
AI = x(x-1) / (x+1)
AI = (x-x²)/(x+1)

2) Déterminer la position du point E pour que la distance AI soit maximale.

Simple : posons AI = f
f(x)=(x-x²)/(x+1)
le but est d'étudier les variations de f. elle dérivable pour tout x>0.
Calculons sa dérivée

f'(x) = (1-2x)-(x-x²) / (x+1)
je bloque un peu en réalitée pour étudier les variations de cette fonction...
Je ne puis étudier les variation de la fonction étant donné qu'elle est de degrès 3... Me suis je trompée quelque part ?

3)Quelle est la position du point E qui rend l'aire du triangle AIE maximale ?

Simple : sachant que l'aire du triangle se calcule par la formule Base*hauteur / 2, on a

g(x) = (AI * AE) / 2
g(x) = (x-x²)/(x+1) * x
g(x) = (x²-x^4) / (2x+2)

Le but est donc de calculer la valeur pour laquelle g(x) est minimale, donc nous avons besoin de sa dérivée.....

Le problème c'est que la dérivée est de degres 4 que je ne sais pas résoudre.

Je vous prie de m'aider, le principe je l'ai compris, cependant je souhaiterais que vous m'aidiez pur la réponse finale les dérivée me semblent incalculables...

Merci d'avance.

Coordialement

[anima]

bonjour, je suis en première S et je bloque un tout petit peu sur un DM de maths concernant les dérivées (et géométrie).

Voici le sujet :

ABCD est un carré de côté 1. Les points E et F appartiennent respectivement à la demi droite [Ax) et au segment [DC] et vérifient AE = CF. I est le point d'intersection des droites (AB) et (EF). on pose AE = x.

1 ) Mq AI= (x-x²)/(x+1)

Simple : Appliquer Thales dans le triangle DFE, ce qui donne EA/ED = AI/DF.
AI = (EA*DF)/ED
AI = x(x-1) / (x+1)
AI = (x-x²)/(x+1)

2) Déterminer la position du point E pour que la distance AI soit maximale.

Simple : posons AI = f
f(x)=(x-x²)/(x+1)
le but est d'étudier les variations de f. elle dérivable pour tout x>0.
Calculons sa dérivée

f'(x) = (1-2x)-(x-x²) / (x+1)
je bloque un peu en réalitée pour étudier les variations de cette fonction...
Je ne puis étudier les variation de la fonction étant donné qu'elle est de degrès 3... Me suis je trompée quelque part ?

3)Quelle est la position du point E qui rend l'aire du triangle AIE maximale ?

Simple : sachant que l'aire du triangle se calcule par la formule Base*hauteur / 2, on a

g(x) = (AI * AE) / 2
g(x) = (x-x²)/(x+1) * x
g(x) = (x²-x^4) / (2x+2)

Le but est donc de calculer la valeur pour laquelle g(x) est minimale, donc nous avons besoin de sa dérivée.....

Le problème c'est que la dérivée est de degres 4 que je ne sais pas résoudre.

Je vous prie de m'aider, le principe je l'ai compris, cependant je souhaiterais que vous m'aidiez pur la réponse finale les dérivée me semblent incalculables...

Merci d'avance.

Coordialement

f(x)=(x-x²)/(x+1)
f'(x) = [(x-x²)'(x+1) - (x-x²)]/(x+1)²
Ta dérivée est juste... .
[(1-2x)(x+1) - x(1-x)]/(x+1)²

f'(x) = 0 ssi (1-2x)(x+1) - x(1-x)
Second degré, non? :marteau:

[armor92]

Pour le 2)
Comme montré par anima
f'(x) = 0 ssi (1-2x)(x+1) - x(1-x) = 0

Ce qui donne une équation du second degré à résoudre.

Pour le 3)
g(x) = (AI * AE) / 2
g(x) = (x-x²)/(x+1) * x / 2
g(x) = (x²-x^3) / (2x+2)

g'(x) = ((2x -3x²)(2x+2) - (x²-x^3) * 2) / (2x+ 2)²

g'(x) = 0 ssi (2x -3x²)(2x+2) - (x²-x^3) * 2 = 0
Ca donne une équation de degré 3 mais on peut factoriser par x
(2x -3x²)(2x+2) - (x²-x^3) * 2 = x * ( (2 - 3x)(2x +2) - (x - x²)*2) = 0

Donc on doit résoudre l'équation du second degré :
(2 - 3x)(2x +2) - (x - x²)*2 = 0

[anima]

Pour le 2)
Comme montré par anima
f'(x) = 0 ssi (1-2x)(x+1) - x(1-x) = 0

Ce qui donne une équation du second degré à résoudre.

Pour le 3)
g(x) = (AI * AE) / 2
g(x) = (x-x²)/(x+1) * x / 2
g(x) = (x²-x^3) / (2x+2)

g'(x) = ((2x -3x²)(2x+2) - (x²-x^3) * 2) / (2x+ 2)²

g'(x) = 0 ssi (2x -3x²)(2x+2) - (x²-x^3) * 2 = 0
Ca donne une équation de degré 3 mais on peut factoriser par x
(2x -3x²)(2x+2) - (x²-x^3) * 2 = x * ( (2 - 3x)(2x +2) - (x - x²)*2) = 0

Donc on doit résoudre l'équation du second degré :
(2 - 3x)(2x +2) - (x - x²)*2 = 0

Exactement. Tu peux encore factoriser tous les membres par 2, mais ca ne devrait pas tellement améliorer la chose. A toi d'utiliser les méthodes que tu connais pour résoudre :ptdr:

[poincaré]

Je tient a vous remercier messieurs (ou mesdames) pour l'aide que vous m'avez apporter.

Merci.

Coordialement. :we: