Dimension du noyau

[superkader5]

Bonjour, je n'arrive pas à faire une question de mon exercice qui est le suivant : Soit E un C-espace vectoriel,
u est un endomorphisme de E, on désigne par f_u l'application définie sur L(E) (ensemble des endomorphismes) par f_u(v)=u o v - v o u. Après avoir démontré que f_u est un endomorphisme et que f_{a Id}=0 (avec a un complexe), je doit montrer que pour tout endomorphisme u de E , dim(Ker(f_u))>=2.
J'ai réussi à montrer que dim(Ker(f_u)) est différent de 0 car id appartient à Ker(f_u) mais je suis bloqué après.
Merci pour votre aide.

[L.A.]

Bonsoir.

Déterminer le noyau de f_u revient à déterminer l'ensemble des endomorphismes v qui commutent avec l'endomorphisme u fixé (tels que uov=vou).
Tu as montré que les homothéties (les endomorphismes de la forme a.Id) commutent avec tout endomorphisme u.
Est-ce que tu vois d'autres endomorphismes qui commutent avec u ?

[superkader5]

Bonsoir.

Déterminer le noyau de f_u revient à déterminer l'ensemble des endomorphismes v qui commutent avec l'endomorphisme u fixé (tels que uov=vou).
Tu as montré que les homothéties (les endomorphismes de la forme a.Id) commutent avec tout endomorphisme u.
Est-ce que tu vois d'autres endomorphismes qui commutent avec u ?

Il y a l'identité aussi. Mais c'est un cas particulier de l'homothétie (rapport 1). Donc il faut en trouver un autre mais je ne vois pas...

[Maxmau]

Il y a l'identité aussi. Mais c'est un cas particulier de l'homothétie (rapport 1). Donc il faut en trouver un autre mais je ne vois pas...

Bj
un petit effort. Ca crève les yeux

[superkader5]

Bj
un petit effort. Ca crève les yeux

Il y a aussi les puissance de u , u o u^n - u^n o u = 0. Est ce bon?

[Maxmau]

Il y a aussi les puissance de u , u o u^n - u^n o u = 0. Est ce bon?

OK. Un peu plus généralement:
Il y a u et tout endomorphisme de la forme P(u) où P est un polynôme
mais rien qu'avec u , je crois que tu peux répondre à ta question ( 2 cas)