Dimension et noyau application linéaire

[novicemaths]

Bonsoir

Voici l'application linéaire f(x,y,z) = 4y-7z

le noyau est de dimension 1.



Donc le noyau est

Est-ce que c'est correct ?

A bientôt

[phyelec]

Bonjour,

Le noyau est de dimension 1 : oui
Le noyau ne contient pas seulement u, mais tous les vecteurs v= z*u.
u est la base du noyau.

[ComeDuRondeau]

Non, ce n'est pas non plus de dimension 1. L'image est bien de dimension 1, que dit le théorème du rang ?

Que peux-tu dire de l'image de (ou de plus généralement) ?

[novicemaths]

Là, je ne comprends pas !

On n'a bien x = 0

Si Im(f)=1, le ran(f) =1

A bientôt

[lyceen95]

On est dans l'espace. Comme dans mon salon, il y a 3 axes : z = la verticale, l'axe des x, c'est la ligne horizontale sous la fenêtre, et l'axe des y, c'est la ligne horizontale en bas du mur en face de moi.

La contrainte 4y-7z=0, ça définit un PLAN.
Par exemple, le point (0,7,4) est dans ce plan,
Idem le point (1,7,4), le point (10000, 7,4) ... Donc toute une droite. Une première droite, car il y en a plein d'autres.
Le point (0, 14,8) et tous les points (x,14,8)
Et tous les points (x,21, 12)
Soit une infinité de droites, c'est à dire un plan (incliné).

Dans l'espace, quand on a une seule contrainte, (ici 4y-7z=0), ça définit une surface (et en l'occurrence un plan, parce que note contrainte est une équation de degré 1)
Quand on a 2 contraintes, on obtient l'intersection de 2 plans, donc une droite en général.

[phyelec]

je ne comprends pas : pour moi l'équation d'une droite c'est y=az+b

[phyelec]

théorème du rang :
Soit f une application linéaire de L(E; F ); ou E est de dimension finie. Alors rg f = dim E -dim(kerf(f)).

[tournesol]

Dans l'espace , il n'y a pas d'équation cartésienne de droite.
L'équation ax+by+cz+d=0 avec (a,b,c) différent de (0,0,0) est celle d'un plan .
Si le repère est orthonormé , c'est l'équation d'un plan perpendiculaire au vecteur de coordonnées (a,b,c) .

[lyceen95]

y=az+b : c'est une équation, une unique équation.

Donc, dans un espace de dimension , c'est l'équation d'un truc de dimension :
- dans le plan, c'est l'équation d'une droite
- dans l'espace , c'est l'équation d'un plan.

Une équation réduit la dimension de l'ensemble de travail d'une unité.
Il faut 2 équations pour réduire la dimension de l'ensemble de travail de 2 unités (par exemple pour définir une droite dans ).

On a énormément l'habitude de travailler dans le plan, et du coup, on est déformé, et on se dit que y=az+b, c'est l'équation d'une droite. Mais dès qu'on travaille en dimension supérieure, c'est faux.

[phyelec]

OK, vous avez raison, merci d'avoir réagi à mon poste. j'aurais du réfléchir avant de répondre, je travaille trop dans le plan,effectivement :

Dans l'espace, tout plan admet une équation du type ax+by+cz=d où a, b, c et d sont des constantes réelles telles que b et c ne sont pas tous nuls et réciproquement, toute équation de ce type est associée à un plan.

Cas particuliers :
Si a=0, alors le plan est parallèle à l'axe des abscisses
Si b=0, le plan est parallèle à l'axe des ordonnées
Si c=0, le plan est parallèle à l'axe des côtes

[tournesol]

Si b et c sonts nuls et que a ne l'est pas on obtient le plan d'équation x=d/a qui est le plan parallèle au plan yOz et qui passe par M(d/a,0,0) .

[novicemaths]

Bonjour

Donc, le noyau de f(x,y,z) = 4y-7z est u=(0,4,-7).

A bientôt

[lyceen95]

Le noyau d'une application est un ensemble, et là , tu dis que le noyau serait un vecteur isolé.

C'est un peu comme si tu confondais un joueur de foot avec une équipe de foot : on ne demande pas le nom d'un joueur, mais le nom d'une équipe. Il faut toujours être vigilant sur la nature des objets qu'on manipule.
cf ce lien par exemple https://math.unice.fr/~ah/ens/cours/alg10/kerim.pdf
Le noyau d'une fonction f de E vers F est l'ensemble des vecteurs de E qui vérifient un certain calcul.
Toi, tu as plus ou moins mémorisé le calcul, mais tu as effacé les mots que j'ai soulignés. Ils sont essentiels.